Bac S 2003 - Descartes et les Mathématiques

Bac S 2003 - Sujet national Suites et restitution organisée de connaissances - Géométrie plane et
complexes - Probabilité - Fonction exponentielle et équations
différentielles. Annales bac S non corrigées : http://debart.pagesperso-orange.fr/ts
Document Word : http://www.debart.fr/doc/bac_2003/bac_s_national_2003.doc BACCALAUREAT GENERAL Session 2003
Epreuve: MATHEMATIQUES
Série : S Durée : 4 heures Coef. : 7 ou 9
OBLIGATOIRE et SPECIALITE
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la
réglementation en vigueur Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit
traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut
admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les
questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la
copie. La qualité et la précision de la rédaction seront prises en
compte dans l'appréciation des copies. Avant de composer, le candidat s'assurera que le sujet comporte bien 6
pages numérotées de 1 à 5 et une annexe. EXERCICE 1 (4 points) Commun à tous les candidats Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal (O, [pic], [pic]) (unité
graphique : 2 cm), on considère les points A, B et C d'affixes respectives
[pic] et [pic].
1.
a) Placer les points A, B et C sur une figure.
b) Calculer [pic]. En déduire que le triangle ABC est rectangle
isocèle.
1.
a) On appelle r la rotation de centre A telle que r(B) = C.
Déterminer l'angle de [pic] et calculer l'affixe [pic] du point D = r(C).
b) Soit ( le cercle de diamètre [BC].
Déterminer et construire l'image (' du cercle ( par la rotation r. 2. Soit M un point de ( d'affixe z, distinct de C et M' d'affixe z' son
image par r.
a) Montrer qu'il existe un réel ( appartenant à [0 ; [pic][ (
][pic] ; 2([ tel que [pic].
b) Exprimer z' en fonction de (.
c) Montrer que [pic] est un réel. En déduire que les points C, M et
M' sont alignés.
d) Placer sur la figure le point M d'affixe [pic] et construire son
image M' par r.
EXERCICE 2 (5 points) Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de
spécialité Soient [pic] un réel strictement positif et OABC un tétraèdre tel que :
[pic] OAB, OAC et OBC sont des triangles rectangles en O,
[pic] OA = OB = OC = [pic].
On appelle I le pied de la hauteur issue de C du triangle ABC, H le pied de
la hauteur issue de O du triangle OIC, et D le point de l'espace défini
par : [pic] 1. Quelle est la nature du triangle ABC ?
2. Démontrer que les droites (OH) et (AB) sont orthogonales, puis que H
est l'orthocentre du triangle ABC.
3. Calcul de OH
a. Calculer le volume V du tétraèdre OABC puis l'aire S du triangle
ABC.
b. Exprimer OH en fonction de V et de S, en déduire que OH =
a[pic].
4. Étude du tétraèdre ABCD.
L'espace est rapporté au repère orthonormal (O, [pic][pic],
[pic][pic], [pic][pic]).
e) Démontrer que le point H a pour coordonnées : [pic].
f) Démontrer que le tétraèdre ABCD est régulier (c'est-à-dire que
toutes ses arêtes ont même longueur).
g) Soit ( le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD.
Démontrer que ( est un point de la droite (OH) puis calculer ses
coordonnées.
EXERCICE 2 (5 points) Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité Les questions 3. et 4. sont indépendantes des questions 1. et 2. seule
l'équation de [pic] donnée en 1. c. intervient à la question 4..
1. L'espace est rapporté au repère orthonormal (O, [pic], [pic], [pic]).
a) Montrer que les plans P et Q d'équations respectives [pic] et
[pic] ne sont pas parallèles.
b) Donner un système d'équations paramétriques de la droite [pic]
intersection des plans P et Q.
c) On considère le cône de révolution [pic] d'axe (O[pic])
contenant la droite [pic] comme génératrice.
Montrer que [pic] pour équation cartésienne [pic].
2. On a représenté sur les deux figures ci-dessous les intersections de l
avec des plans parallèles aux axes de coordonnées.
Déterminer dans chaque cas une équation des plans possibles, en justifiant
avec soin votre réponse.
[pic]
3.
h) Montrer que l'équation [pic] , dont l'inconnue [pic] est un
entier relatif, n'a pas de solution,
i) Montrer la propriété suivante :
pour tous entiers relatifs [pic] et [pic], si 7 divise [pic] alors 7 divise
[pic] et 7 divise [pic].
4.
a) Soient [pic] et [pic] des entiers relatifs non nuls. Montrer la
propriété suivante :
si le point A de coordonnées [pic] est un point du cône [pic] alors [pic]
et [pic] sont divisibles par 7.
(b) En déduire que le seul point de [pic] dont les coordonnées sont
des entiers relatifs est le sommet de ce cône.
Problème (11 points) Commun à tous les candidats Soit N[pic] le nombre de bactéries introduites dans un milieu de culture à
l'instant [pic] (N[pic] étant un réel strictement positif, exprimé en
millions d'individus).
Ce problème a pour objet l'étude de deux modèles d'évolution de cette
population de bactéries :
[pic] un premier modèle pour les instants qui suivent l'ensemencement
(partie A),
[pic] un second modèle pouvant s'appliquer sur une longue période (partie
B). Partie A Dans les instants qui suivent l'ensemencement du milieu de culture, on
considère que la vitesse d'accroissement des bactéries est proportionnelle
au nombre de bactéries en présence.
Dans ce premier modèle, on note f(t) le nombre de bactéries à l'instant
[pic] (exprimé en millions d'individus). La fonction f est donc solution de
l'équation différentielle : y' = ay. (où [pic] est un réel strictement
positif dépendant des conditions expérimentales).
1. Résoudre cette équation différentielle, sachant que f(0) = N0.
2. On note [pic] le temps de doublement de la population bactérienne.
Démontrer que, pour tout réel t positif : [pic]. Partie B Le milieu étant limité (en volume, en éléments nutritifs, ...), le nombre
de bactéries ne peut pas croître indéfiniment de façon exponentielle. Le
modèle précédent ne peut donc s'appliquer sur une longue période. Pour
tenir compte de ces observations, on représente l'évolution de la
population de bactéries de la façon suivante :
Soit g(t) est le nombre de bactéries à l'instant t (exprimé en millions
d'individus) ; la fonction g est une fonction strictement positive et
dérivable sur [0 ; +([ qui vérifie pour tout [pic] de [0 ; +([ la relation
:
[pic] où M est une constante strictement positive dépendant des conditions
expérimentales et [pic] le réel défini dans la partie A.
1.
a) Démontrer que si [pic] est une fonction strictement positive
vérifiant la relation (E), alors la fonction [pic] est solution
de l'équation différentielle
[pic] b) Résoudre (E').
c) Démontrer que si [pic] est une solution strictement positive de
(E'), alors [pic] vérifie (E).
2. On suppose désormais que, pour tout réel positif [pic] où [pic] est
une constante strictement supérieure à 1 dépendant des conditions
expérimentales.
a) Déterminer la limite de [pic] en [pic] et démontrer, pour tout
réel [pic] positif ou nul, la double inégalité : 0 < g(t) < M.
b) Étudier le sens de variation de g (on pourra utiliser la
relation (E)).
Démontrer qu'il existe un réel unique t0 positif tel que [pic].
c) Démontrer que [pic]. Étudier le signe de g''. En déduire que la
vitesse d'accroissement du nombre de bactéries est décroissante
à partir de l'instant t0 défini ci-dessus.
Exprimer t0 en fonction de [pic] et [pic].
d) Sachant que le nombre de bactéries à l'instant [pic] est [pic],
calculer le nombre moyen de bactéries entre les instants [pic]
et t0, en fonction de M et [pic]. Partie C 1. Le tableau présenté en Annexe I a permis d'établir que la courbe
représentative de [pic] passait par les points de coordonnées
respectives (0 ; 1) et (0,5 ; 2). En déduire les valeurs de N0, T et
a.
2. Sachant que [pic] et que M = 100 N0, démontrer, pour tout réel [pic]
positif ou nul, l'égalité suivante :
[pic] 3. Tracer, sur la feuille donnée en Annexe II, la courbe [pic]
représentative de [pic], l'asymptote à [pic] ainsi que le point de
[pic] d'abscisse [pic].
Dans quelles conditions le premier modèle vous semble-t-il adapté aux
observations faites ?
Documents à rendre avec la copie Annexe I
|[pic] |0 |0,|1 |1,|2 |3 |4 |5 |6|
| | |5 | |5 | | | | | |
|(en h) | | | | | | | | | |
|Nombre de |1,|2,|3,|7,|14,|37,|70,|90,|9|
|bactéries |0 |0 |9 |9 |5 |9 |4 |1 |8|
|(en millions) | | | | | | | | | | Les points obtenus à partir de ce tableau, ainsi que le graphe de la
fonction f, sont représentés dans le graphique ci-dessous. [pic]