FONCTIONS EXPONENTIELLES I. Fonction exponentielle de base ...

FONCTIONS EXPONENTIELLES
I. Fonction exponentielle de base q 1) Définition On considère la suite géométrique de raison q définie par [pic].
Elle est définie pour tout entier naturel n.
En prolongeant son ensemble de définition pour tout réel positif, on
définit la fonction exponentielle de base q.
Ainsi par exemple :
Pour une suite, on a [pic]
Pour une fonction, on a [pic] mais on a aussi [pic]
Définition : La fonction [pic], avec [pic], s'appelle fonction
exponentielle de
base q. Exemple :
La fonction exponentielle de base 1,2 est définie sur [pic] par [pic]. Remarque : Avec la calculatrice, il est possible de calculer des valeurs
d'une fonction exponentielle de base q.
[pic]
Propriété : La fonction exponentielle de base q est définie, strictement
positive, continue et dérivable sur [pic]. - Admis -
2) Propriétés Relation fonctionnelle : Pour tout réel x et y, on a [pic] - Admis - Remarque : Cette formule permet de transformer une somme en produit et
réciproquement.
Propriétés : Pour tout réel x et y, on a :
a) [pic] et [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic] avec n un entier relatif. Démonstration de b et c : b) [pic] donc [pic].
c) [pic]
Méthode : Simplifier une expression Simplifier les expressions suivantes :
[pic] [pic] [pic]
[pic] [pic] [pic]
3) Variationsw |[pic] |[pic] |
|[pic] est décroissante sur [pic] |[pic] est croissante sur [pic] |
|[pic] et [pic] |[pic] et [pic] |
|[pic] |[pic] | - Admis - Remarques :
- Si [pic] alors la fonction exponentielle de base q est constante. En
effet, dans ce cas, [pic]
- Quel que soit q, la fonction exponentielle de base q passe par le
point (0 ; 1). En effet, [pic].
- La fonction exponentielle de base q est convexe. Méthode : Utiliser une fonction exponentielle de base q Suite à une infection, le nombre de bactéries contenues dans un organisme
en fonction du temps (en heures) peut être modélisé par la fonction f
définie sur [0 ; 10] par :[pic]. a) À l'aide de la calculatrice, donner un arrondi au millier près du nombre
de bactéries après 3h puis 5h30.
b) Déterminer les variations de f sur [0 ; 10].
c) À l'aide de la calculatrice, déterminer au bout de combien de temps le
nombre de bactéries a doublé ?
a) [pic]
b) 1,15 > 1 donc la fonction [pic] est strictement croissante sur [0 ; 10].
Il en est de même pour la fonction f. c) Le nombre de bactéries a doublé à partir de 100000 bactéries, soit au
bout d'environ 5h. II. Fonction exponentielle de base e 1) Définition Propriété : Parmi toutes les fonctions [pic], il en existe une seule dont
la tangente à la courbe représentative au point (0 ; 1) a pour coefficient
directeur 1. - Admis -
Définition : Cette fonction est la fonction exponentielle de base e, notée
exp, telle que pour tout réel x, on a [pic].
Le réel e est environ égal à 2,718. Remarques : Avec la calculatrice, on peut obtenir une valeur approchée de
e.
[pic] Il est également possible d'observer l'allure de la courbe représentative
de la fonction exponentielle :
[pic] Remarque : On verra que la fonction exponentielle est croissante. Mais sa
croissance est très rapide, ainsi exp(21) dépasse le milliard.
Comme [pic], le nombre e est un nombre irrationnel, c'est à dire qu'il
s'écrit avec un nombre infini de décimales sans suite logique.
Ses premières décimales sont :
e [pic] 2,7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 47093699959574966967
6277240766 3035354759 4571382178 5251664274...
Le premier à s'intéresser de façon sérieuse au nombre e est le
mathématicien suisse Leonhard Euler (1707 ; 1783), ci-dessus. C'est à lui
que nous devons le nom de ce nombre. Non pas qu'il s'agisse de l'initiale
de son nom mais peut être car e est la première lettre du mot exponentiel.
Dans « Introductio in Analysin infinitorum » publié en 1748, Euler explique
que :
[pic]
Rappelons que par exemple 5! se lit "factoriel 5" et est égal à 1 x 2 x 3 x
4 x 5.
Par cette formule, il obtient une estimation de e avec 18 décimales
exactes.
Nous devons aussi à Euler la démonstration de l'irrationalité de e.
2) Propriétés Propriétés : Pour tout réel x et y, on a :
a) [pic] et [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]
e) [pic]
f) [pic] avec n un entier relatif. Remarque : On retrouve les propriétés des puissances.
Méthode : Simplifier les écritures Simplifier l'écriture des nombres suivants :
[pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]
3) Dérivabilité Propriété : Le nombre dérivé de la fonction exponentielle en 0 est égal à
1. Démonstration : Par définition, la tangente à la courbe représentative en 0
a pour coefficient directeur 1. Propriété : La fonction exponentielle est continue et dérivable sur [pic]
et [pic] - Admis - Méthode : Dériver une fonction Dériver sur [pic] les fonctions suivantes : a) [pic] b) [pic] c) [pic]
a) [pic] b) [pic] c) [pic] 4) Variations Propriété : La fonction exponentielle est strictement croissante sur [pic]. Démonstration : Comme [pic], la fonction exponentielle est strictement
croissante.
5) Limites en l'infini Propriété : [pic] et [pic]
6) Courbe représentative On dresse le tableau de variations de la fonction
exponentielle : |x |[pic] |
| |[pic] |
|[pic] |+ |
|[pic] | |
| |[pic] |
| | |
| |0 |
7) Résolution d'équations et d'inéquations Propriétés : Pour tout réel a et b, on a :
a) [pic]
b) [pic]
Méthode : Résoudre une équation ou une inéquation a) Résoudre dans [pic] l'équation [pic].
b) Résoudre dans [pic] l'inéquation [pic].
a) [pic]
[pic]
Les solutions sont -3 et 1. b) [pic]
[pic]
L'ensemble des solutions est l'intervalle [pic]. III. Fonctions de la forme eu Propriété : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.
La fonction [pic] est dérivable sur I. Sa dérivée est la fonction [pic]. - Admis - Exemple :
Soit [pic] alors [pic] Propriété : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.
Les fonctions [pic] et [pic] ont le même sens de variation. Démonstration :
On a [pic]
Comme [pic], u' et [pic] sont de même signe.
Exemple :
La fonction [pic] est décroissante sur [pic] et sur [pic] donc la fonction
[pic] est également décroissante sur [pic] et sur [pic]. Méthode : Etudier une fonction Soit f la fonction définie sur [pic] par [pic].
a) Calculer la dérivée de la fonction f.
b) Dresser le tableau de variation de la fonction f.
c) Tracer la courbe représentative de la fonction f en s'aidant de la
calculatrice graphique.
d) Déterminer une valeur approchée de l'abscisse du point d'inflexion à la
courbe.
e) Démontrer que [pic].
f) En déduire l'abscisse du point d'inflexion.
a) [pic]
b) Comme [pic], [pic] est du signe de [pic].
f est donc croissante sur l'intervalle [pic] et décroissante sur
l'intervalle [pic].
On dresse le tableau de variations :
|x |[pic] 2 |
| |[pic] |
|[pic]| + 0 |
| |- |
|[pic]| [pic]|
| | | [pic] c) d) Le point d'inflexion semble avoir pour abscisse une valeur proche de 4. e) [pic]
[pic] f) Comme [pic], [pic] est du signe de [pic].
Donc [pic] pour [pic] soit [pic].
[pic] pour [pic] soit [pic].
Ainsi [pic] est croissante sur [pic] et donc f est convexe sur cet
intervalle.
[pic] est décroissante sur [pic] et donc f est concave sur cet intervalle.
On en déduit que la courbe représentative de f possède un point d'inflexion
d'abscisse 4. -----------------------
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