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LE THÉORÈME DE PYTHAGORE
(Partie 1) Pythagore de Samos (-569 à -475) a fondé l'école pythagoricienne (à
Crotone, Italie du Sud).
Le théorème de Pythagore bien connu des élèves de 4e, n'est en fait pas une
découverte de Pythagore, il était déjà connu par les chinois et les
babyloniens 1000 ans avant lui. Pythagore (ou ses disciples) aurait
découvert la formule générale.
Les Egyptiens connaissaient aussi le théorème. Ils utilisaient
la corde à 13 noeuds (régulièrement répartis) qui une fois
tendue formait le triangle rectangle 3 ; 4 ; 5 et permettait
d'obtenir un angle droit entre deux « longueurs ».
Corde qui sera encore utilisée par les maçons du XXe siècle pour s'assurer
de la perpendicularité des murs. I. L'égalité de Pythagore Activité conseillée
|p196 Activité 1 |
Myriade 4e - Bordas Éd.2016 Exemple : ABC est un triangle rectangle en A,
BC2 = 52 = 25
AB2 + AC2 = 32 + 42 = 25
On constate que BC2 = AB2 + AC2 Théorème de Pythagore :
Un triangle rectangle est un triangle dont le carré de l'hypoténuse est
égal à la somme des carrés des deux autres côtés. [pic]
L'égalité a2 = b2 + c2 s'appelle l'égalité de Pythagore. Animation : http://www.maths-et-tiques.fr/telech/Pythagore.ggb Écrire la formule : http://www.maths-et-tiques.fr/telech/pyth_ecrire.pdf [pic] Vidéo https://youtu.be/_6ZjpAIWNkM Exercices conseillés En devoir
|p200 n°4 à 7 |p201 n°12, 13 |
|p201 n°8 à 11| |
| | |
|p206 n°49, | |
|50, 51 | |
Myriade 4e - Bordas Éd.2016 II. Racine carrée d'un nombre La devise pythagoricienne était « Tout est nombre » au sens de
nombres rationnels (quotient de deux entiers).
L'erreur des pythagoriciens est d'avoir toujours nié l'existence
des nombres irrationnels.
Par la diagonale d'un carré de côté 1, ils trouvent le nombre
inexprimable [pic] qui étonne puis bouleverse les
pythagoriciens. Dans un carré d'une telle simplicité niche un
nombre indicible et jamais rencontré jusqu'alors. Cette
découverte doit rester secrète pour ne pas rompre le fondement
même de la Fraternité pythagoricienne jusqu'à ce qu'un des
membres, Hippase de Métaponte, trahisse le secret. Celui-ci
périra "curieusement" dans un naufrage !
Origine du symbole :
IIe siècle : l12 = côté d'un carré d'aire 12 (l comme latus = côté en
latin)
1525, Christoph RUDOLFF, all. : v12 (vient du r de racine, radix en latin)
XVIe siècle, Michael STIFEL, all. : [pic](combinaison du « v » de Rudolff
et de la barre «[pic]» ancêtre des parenthèses)
1) Exemples : |5 |7 |3,1 |6 |7 |2,36 |2,3 |
| 25 |49 |9,61 |36 |49 |5,5696 |5,29 | Par exemple, le nombre dont le carré est égal à 36 est 6 et on note :
[pic]. Remarque : [pic]= ?
La racine carrée de -5 est le nombre dont le carré est -5.
Un nombre au carré est toujours positif (règle des signes), donc la racine
carrée d'un nombre négatif est impossible. [pic] n'existe pas !
Définition :
Soit a un nombre positif.
On appelle racine carrée de a le nombre dont le carré est égal à a. On le
note [pic]
Méthode : Calculer la racine carrée d'un nombre Dans chaque cas, trouver un nombre qui vérifie l'égalité :
1) [pic] 2) [pic] 3)
[pic]
1) [pic] donc 2) [pic] donc
x = [pic] = 9 y = [pic] = 2,35 3) [pic]
On cherche un nombre dont le carré est égal à 14.
Il n'existe pas de valeur connue alors on utilise la calculatrice pour
obtenir une valeur approchée du résultat. En effet, il n'existe pas de
valeur décimale exacte dont le carré est égal à 14.
z = [pic] ? 3,74 2) Racines de carrés parfaits [pic]= 2 [pic] = 6 [pic] = 10
[pic] = 3 [pic] = 7 [pic] = 11
[pic] = 4 [pic] = 8 [pic] = 12
[pic] = 5 [pic] = 9 [pic] = 13
Exercices conseillés
|p202 n°15 à | |
|18 | |
Myriade 4e - Bordas Éd.2016 III. Calculer une longueur
Activité conseillée
|p196 Activité 2 |
Myriade 4e - Bordas Éd.2016
LE THÉORÈME DE PYTHAGORE
[pic] Méthode : Appliquer le théorème de Pythagore pour calculer la longueur de
l'hypoténuse [pic] Vidéo https://youtu.be/M9sceJ8gzNc ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 6cm et AC = 9cm.
Calculer BC. Donner la valeur exacte et un arrondi au dixième de cm.
Je sais que le triangle ABC est rectangle en A.
Son hypoténuse est le côté BC.
J'utilise l'égalité de Pythagore, donc :
BC2 = AB2 + AC2
BC2 = 62 + 92
BC2 = 36 + 81
BC2 = 117
BC [pic] [pic]
BC [pic]10,8 cm Exercices conseillés En devoir
|p202 n°19, 20|p203 n°29 |
| | |
|p203 n°22, | |
|24, 25, 26 | |
Myriade 4e - Bordas Éd.2016 Méthode : Appliquer le théorème de Pythagore pour calculer la longueur d'un
côté de l'angle droit [pic] Vidéo https://youtu.be/9CIh6GGVu_w CDE est un triangle rectangle en C tel que CE = 5cm et ED = 8cm.
Calculer CD. Donner la valeur exacte et un arrondi au dixième de cm.
Je sais que le triangle CDE est rectangle en C.
Son hypoténuse est le côté ED.
J'utilise l'égalité de Pythagore, donc :
ED2 = CE2 + CD2
82 = 52 + CD2
64 = 25 + CD2
CD2 = 64 - 25
CD = [pic]
CD [pic] 6,2cm
Exercices conseillés En devoir
|p202 n°21 |p203 n°28 |
|p203 n°23, 27|p210 n°73 |
| |p211 n°78 |
|p206 n°52 | |
|p207 n°53 à | |
|58 | |
|p208 n°68 | |
|p209 n°69, | |
|70, 71 | |
|p211 n°75 | |
Myriade 4e - Bordas Éd.2016 Activité ordinateur
|p212 Activité 1 |
Myriade 4e - Bordas Éd.2016 Travaux en groupe
|p214 Tache complexe |
|p214 Le problème Dudu |
Myriade 4e - Bordas Éd.2016 -----------------------
B C A 5 4 3
[pic] x2 BC2 = AB2 + AC2 un triangle ABC est rectangle en A Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que
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