1 Elements Passifs Hyperfréquences - Cel

Application des Lignes TEM à la Réalisation des Fonctions Passives


2 Application des Lignes TEM à la Réalisation des Fonctions Passives 2-
2
2.1 Matrice de Répartition 2-2
2.1.1 Matrice de Répartition d'un Réseau à 1 Port 2-2
2.1.2 Matrice de Répartition d'un Réseau à 2 Ports 2-5
2.1.3 Matrice de Répartition d'un Réseau à N Ports 2-6
2.1.4 Paramètres S d'un Réseau Passif Non Dissipatif 2-7
2.1.5 Matrice de Transmission 2-8
2.1.6 Déplacement du Plan de Référence 2-10
2.1.7 Relations entre les paramètres S, Z, Y et H. 2-11
2.2 Diviseurs de Puissance 2-12
2.2.1 Diviseur de Wilkinson 2-12
2.2.2 Coupleur à Branches 2-22
2.2.3 Coupleur à Lignes Couplées 2-30
2.2.4 Coupleur de Lange 2-31
2.2.5 Coupleur directif 2-33
2.2.6 Anneau Hybride 2-34
2.2.7 Diviseur résistif adapté 2-35
2.3 Abaque de Smith 2-36
2.4 Adaptation d'impédance 2-39
2.4.1 Réseaux en L 2-40
2.4.2 Adaptation avec Un Stub 2-43
2.4.3 Adaptation avec Deux Stubs 2-47
2.4.4 Equivalences Série-Parallèle 2-50
2.4.5 Facteur de Qualité sur Abaque de Smith 2-55
2.4.6 Critère de Bode-Fano 2-56


Application des Lignes TEM à la Réalisation des Fonctions Passives





1 Matrice de Répartition


Un réseau hyperfréquence linéaire peut être caractérisé par une matrice
particulière, appelée matrice de répartition ou encore matrice [pic]. Cette
matrice s'obtient en décomposant la tension et le courant aux ports d'accès
du réseau en ondes incidentes et réfléchies.

La popularité de la matrice de répartition pour la caractérisation des
réseaux linéaires provient du fait que les termes de cette matrice sont
plus facilement mesurables aux hyperfréquences. Cette matrice donne aussi
des informations plus directes sur des paramètres utiles, tel le niveau
d'adaptation des divers ports d'accès et les diverses fonctions de
transfert du réseau, tel le gain et le niveau d'isolation.



1 Matrice de Répartition d'un Réseau à 1 Port


Pour introduire le concept de matrice de répartition, on considère tout
d'abord le cas d'un réseau à un seul port d'accès:


Où [pic] est l'impédance interne de la source, [pic] est la tension
incidente au port, [pic] est la tension réfléchie au port, [pic] est le
courant incident au port, et [pic] est le courant réfléchi au port.

Par analogie avec les équations 1-54 et 1-55, la tension [pic] et le
courant [pic], au port 1, sont exprimés comme la superposition d'ondes
incidentes et réfléchies:


Puisque la source est adaptée, c'est-à-dire que l'impédance du générateur
[pic] correspond à l'impédance caractéristique de la ligne de transmission
[pic] reliant la source au réseau à un port, alors:
[pic] [pic] [pic] .
Et par conséquent, les équations 1-59 et 1-30 nous donne:



Quant aux composantes réfléchies, nous avons d'après les équations 1-60 et
1-31:



Comme il s'agit d'un réseau linéaire, la réponse du circuit devrait être
proportionnelle à l'excitation et par conséquent e rapport entre
l'excitation et la réponse est suffisant pour caractériser le réseau. Dans
le cas des paramètres S, le rapport de l'onde réfléchie sur l'onde
incidente est suffisant pour caractériser le dispositif.

Aux bornes du réseau à un port d'accès, c'est-à-dire en [pic] :



Nous introduisons maintenant la notation normalisée:



Nous avons alors:





Si nous exprimons maintenant les ondes normalisées incidentes et réfléchies
[pic] et [pic] en fonction des tensions et courants:




Dans le cas d'un réseau à un port d'accès, nous définissons le paramètre
[pic] tel que:


En fait, [pic] correspond au rapport de la tension réfléchie sur la tension
incidente aux bornes du réseau à un port d'accès, c'est-à-dire en [pic]:


[pic] correspond donc au coefficient de réflexion de l'impédance
équivalente du réseau à un port.



2 Matrice de Répartition d'un Réseau à 2 Ports


Dans le cas d'un réseau à deux ports d'accès, nous avons une onde incidente
[pic] et une onde réfléchie [pic] au port 1, de même qu'une onde incidente
[pic] et une onde réfléchie [pic] au port 2:


En généralisant l'équation 2-9, nous avons:


Il est important de noter que [pic] , [pic] , [pic] , et [pic]
correspondent aux valeurs des ondes incidentes et réfléchies aux bornes
d'accès du réseau à deux ports. Les coefficients [pic], [pic], [pic] et
[pic] , qui représentent les coefficients de réflexion et de transmission,
sont appelés paramètres S.


Chacun de ces paramètres est un nombre complexe.

Dans le cas d'un réseau à deux ports d'accès, l'interprétation de chacun
des quatre paramètres S se définie comme suit:





Ces quatre paramètres S suffisent donc pour caractériser le comportement
d'un réseau linéaire à deux ports d'accès à une fréquence spécifique.
Comme les paramètres S d'un dispositif hyperfréquence varient avec la
fréquence, il est nécessaire de connaître les quatre paramètres S à chaque
fréquence d'intérêt.

L'avantage des paramètres S aux hyperfréquences provient du fait que leur
mesure s'effectue à l'aide de source et de charge adaptées. Ainsi, pour
mesurer les coefficients [pic] et [pic], on dispose le générateur
d'impédance interne[pic] (c'est-à-dire de même impédance que l'impédance
caractéristique de la ligne de transmission reliant le générateur au port 1
du dispositif) au port 1 du dispositif, et une charge adaptée [pic] au port
2. Comme la charge est adaptée, on est assuré de la condition [pic]
puisque toute onde se propageant vers la charge ne sera pas réfléchie.
Pour mesurer les coefficients [pic] et [pic] , on dispose le générateur au
port 2, et la charge au port 1.

On remarquera également que les variables [pic] et [pic] représentant les
ondes incidentes et réfléchies ont comme dimension une racine carrée de
puissance. Il n'est donc pas surprenant de constater que ces variables
sont liées aux puissances incidentes et réfléchies des ports 1 et 2 comme
suit:






3 Matrice de Répartition d'un Réseau à N Ports


Les résultats obtenus dans le cas d'un réseau à deux ports peuvent se
généraliser à un réseau à N ports. La matrice [pic] obtenue est carrée, de
dimension [pic] et chacun de ses coefficients se définie comme suit:





4 Paramètres S d'un Réseau Passif Non Dissipatif


Considérons le cas d'un réseau à 2 ports caractérisé par les équations:



Ces équations proviennent de l'équation matricielle 2-11, où une écriture
abrégée est utilisée pour les coefficients [pic] et [pic].

En multipliant chaque équation par son complexe conjugué, on a:



et



Pour un réseau non dissipatif, la somme des puissances incidentes aux ports
1 et 2 doit être égale à la somme des puissances réfléchies à ces mêmes
ports (équation 1-13):


D'où, d'après les expressions de [pic] et de [pic] ci-dessus, il vient,
tout calculs faits:


Cette équation ne peut être satisfaite que si les termes entre parenthèse
sont identiquement nuls, ce qui conduit aux relations suivantes:






Si le réseau est réciproque:


Et alors il en résulte:



Les équations 2-14 sont équivalentes à écrire sous forme matricielle:



Cette relation est générale et applicable à tout réseau non dissipatif à N
ports.


5 Matrice de Transmission



La caractérisation d'un réseau linéaire à deux ports, par une matrice de
transmission, consiste à prendre, dans les équations 2-11, [pic] et [pic]
comme variables dépendantes, et [pic] et [pic] comme variables
indépendantes.

En d'autres termes:


Où [pic] est la matrice de transmission du réseau.

La correspondance entre les matrices [pic] et [pic] s'obtient facilement:




Considérons maintenant deux réseaux linéaires à deux ports, caractérisés
par leur matrice de répartition [pic] et [pic], et connectés en chaîne.


Après avoir déterminé les matrices de transmission [pic] et [pic], on peut
écrire pour ces deux réseaux:


D'après la connexion en chaîne des deux réseaux, nous avons:


Ce qui entraîne:


C'est à dire:


La matrice de transmission de réseau résultant est donc égale au produit
des matrices de transmission des réseaux individuels. Cette propriété se
généralise directement à une chaîne constituée d'un nombre quelconque de
réseaux à 2 ports. Une fois la matrice de transmission résultante obtenue,
il est facile de calculer la matrice de répartition résultante.






6 Déplacement du Plan de Référence


A la section 2.1.2, nous avions défini les paramètres S aux bornes du
dispositif, soit en [pic] et [pic]. En effet, lors de la définition de
paramètres S, il est important de spécifier les positions de définition.
Ces positions sont appelées plans de référence. Lors de la mesure des
paramètres S d'un dispositif, des lignes de transmission sont requises pour
relier le dispositif sous test à l'appareil de mesure. Par conséquent,
l'appareil mesure les paramètres S aux positions [pic] et [pic] alors que
nous désirons caractériser notre dispositif aux plans de référence [pic] et
[pic].



La relation entre les variables [pic] [pic] en différentes positions le
long de l'axe [pic] est définie par un déphasage sous la forme [pic] .



D'où:





7 Relations entre les paramètres S, Z, Y et H.


| |S |Z |Y |ABCD |
| | | | | |
| | | | | |
| | | | | |
| | | | | |
| | | | | |
| |