Baccalauréat S 2003 L'intégrale de septembre 2002 à juin 2003

Baccalauréat S Antilles-Guyane?
septembre 2002
EXERCICE1enseignementobligatoire
1.Soit la suite (un) définie paru1=1
2et par la relation de récurrence :
u
n+1=1
6un+13.
a.Soit la suite (vn) définie pourn?1 parvn=un-2
5; montrer que (vn)est
une suite géométrique dont on précisera la raison.
b.En déduire l"expression devnen fonction denpuis celle deun.
2.On considère deux dés, notés A et B. Le dé A comporte trois faces rouges
et trois faces blanches. Le dé B comporte quatre faces rougeset deux faces
blanches.
On choisit un dé au hasard et on le lance : si on obtient rouge, on garde le
même dé, si on obtient blanc, on change de dé. Puis on relance le dé et ainsi
de suite.
On désigne parAnl"évènement "on utilise le dé A aun-ième lancer»,
par
Anl"évènement contraire deAn,
parRnl"évènement "on obtient rouge aun-ième lancer»,
par
Rnl"évènement contraire deRn,
paranetrnles probabilités respectives deAnetRn.
a.Déterminera1.
b.Déterminerr1. Pour cela, on pourra s"aider d"un arbre.
c.En remarquantque, pour toutn?1,Rn=(Rn∩Rn)??
R
n∩
Rn?
, montrer
quern=-1
6an+23.
d.Montrer que, pour toutn?1,
A
n+1=(An∩Rn)??
An∩Rn?
.
e.En déduire que, pour toutn?1,
a
n+1=1
6an+13, puis déterminer l"expression deanen fonction den.
f.En déduire l"expression dernen fonction denpuis la limite dernquand
ntend vers+∞.
EXERCICE2enseignementobligatoire
Dans le plan complexe rapport au repère orthonormal direct?
O,-→u,-→v?
(unité gra-
phique : 5 cm), on considère les points A et B d"affixes respectives
z
A=1+i etzB=-1
2+12i.
On désigne par (C) le cercle de centre O et de rayon 1.
1.Donner la forme trigonométrique dezAet celle dezB.
2.Dans la suite de l"exercice,Mdésigne un point de (C)d"affixe eiα,α?[0 ; 2π].
On considère l"applicationfqui tout pointMde (C), associe
f(M)=MA×MB.
a.Montrer, pour toutα?R, l"égalité suivante :
e
i2α-1=2ieiα.
A. P. M. E. P. Aquitaineannée 2003
b.Montrer l"égalité suivante :f(M)=????
ei2α-1-?12+32i?
e
iα????.
c.En déduire l"égalité suivante :f(M)=?
1
4+?
-32+2sinα?
2
.
3. a.En utilisant2c, montrer qu"il existe deux pointsMde (C), dont on don-
nera les coordonnées, pour lesquelsf(M) est minimal. Donner cette va-
leur minimale.
b.En utilisant2 c, montrer qu"il existe un seul pointMde (C), dont on
donnera les coordonnées, pour lequelf(M) est maximal. Donner cette
valeur maximale.
EXERCICE2enseignementde spécialité
Dans le plan, on considère deux segments [AC] et [BD] tels que
AC = BD et
??--→AC ,--→BD?
=-π
2.
Ondésignepar Mle milieu de[AC] etpar Ncelui de[BD]. Onappelle (C1),(C2),(C3)
et (C4) les cercles de diamètres respectifs [AB], [BC] , [CD] et [DA].
On pourra s"aider de la figure ci-jointe.
1. a.Soitrla rotation qui transforme A en B et C en D. Quel est l"angle der?
Montrer que le centre I derappartient aux cercles (C1) et (C3).
b.Soitr?la rotation qui transforme A en D et C en B. Quel est l"angle der??
Montrer que le centre J der?appartient aux cercles (C2) et (C4).
c.Quelle est la nature du quadrilatère INJM? On désigne par P etR les
points diamètralement opposés à I sur, respectivement (C1) et (C3) et
parQetSlespointsdiamètralementopposésàJsur,respectivement(C2)
et (C4).
2.Soitsla similitude directe de centre I, de rapport?
2 et d"angleπ4.
a.Quelles sont les images parsdes points D, N, B?
b.En déduire que J est le milieu de [PR].
Antilles-Guyane4septembre 2002
PROBLÈME
Soitfla fonction dfinie sur [0; 1] par :
?f(0)=0
f(1)=0
f(x)=(lnx)×ln(1-x), pourx?]0 ; 1[
où ln désigne la fonction logarithme népérien. On noteCsa courbe représentative
dans un repère orthonormal (unité graphique : 10 cm).
On admet que limx→0f(x)=0 et limx→1f(x)=0, ainsi que le résultat suivant :
pourα>0, limx→0xαlnx=0.
PartieA - Étude de la fonctionf
1. a.Déterminer la limite quandxtend vers 0 de l"expressionln(1-x)
x.
b.En déduire la limite quandxtend vers 0 de l"expressionf(x)
x; que peut-
on en déduire pour la courbeC?
2.Montrer que pour toutx??
-1
2;12?
,f?12-x?
=f?12+x?
.
Que peut-on en conclure pourC?
3.Soit?la fonction définie sur ] 0; 1[ par :
?(x)=(1-x)ln(1-x)-xlnx.
a.Déterminer??(x),puis montrer l"égalité???(x)=2x-1
x(1-x);en déduireles
variations de??sur ]0; 1[.
b.Montrer que??s"annule en deux valeursα1etα2sur ]0; 1 [ (on ne cher-
chera pas à calculer ces valeurs). Donner le signe de??sur ]0; 1[.
Antilles-Guyane5septembre 2002
A. P. M. E. P. Aquitaineannée 2003
c.Déterminer la limite quandxtend vers 0 de l"expression?(x) et la limite
quandxtend vers 1 de?(x). Calculer??1
2?
. En déduire le signe de?(x)
sur ]0; 1[.
4. a.Montrer quef?(x) a même signe que?(x) sur ]0; 1[.
b.Donner le tableau de variations def.
c.Montrer que, pour toutx?]0 ; 1[, les inégalités suivantes sont vraies :
0
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