Exercice 3: Une lampe "secouée" Correction (4 points)

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EXERCICE 3 : UNE LAMPE « SECOUÉE » (4 points)

1. Le dipôle RC
1.1. D'après la loi d'additivité des tensions : uC + uR = 0
d'après la loi d'Ohm uC + R.i = 0
i = [pic] avec q = C.uC avec C = Cte alors i = [pic]
uC + R.C. [pic] = 0
En divisant par RC, il vient [pic]uC + [pic] = 0.
Avec ( = R.C., on retrouve [pic] + [pic].uC = 0.

1.2. D'après 1.1., on a i = [pic], soit [I] = [C].[pic] donc [C] = [pic]
D'après la loi d'Ohm, uR = R.i soit [U] = [R].[I] donc [R] = [pic]
[(] = [R.C] = [R].[C]
[(] = [pic] . [pic] = [T] la constante de temps est homogène à une durée.

1.3. Avec uC = U0.e-t/( (1), alors [pic] = [pic] avec U0 = Cte donc [pic] =
-[pic]. e-t/( (2)
Introduisons ces expressions (1) et (2) dans l'équation différentielle :
[pic] + [pic].uC = -[pic]. e-t/( + [pic].U0.e-t/( = e-t/(.(-[pic] +
[pic].U0) = 0 quel que soit t.
La solution proposée convient.

1.4. uC(5() = U0.e-5(/( = U0.e-5
uC(5() = 6,74×10-3.U0
La tension uC au bout d'une durée égale à 5 ( est égale à 0,674 % de sa
valeur initiale U0 , on peut considérer que la décharge est complète.

1.5. 5( = 20 min et ( = R.C donc R = (/C avec ( en secondes.
R = [pic] = 2,4×102 ?
2. Énergie emmagasinée dans le dipôle RC
2.1. La proposition c) convient, il y a conversion d'énergie mécanique en
énergie électrique.
2.2. E(t) = [pic]
2.3. Emax = [pic]
Emax = 0,5 × 1,0 × 3,62 = 6,5 J < 12 J ne dépassant pas les performances
annoncées par le constructeur.
2.4. Le texte indique que le condensateur perd 8 mJ (8×10-3 J) par heure.
Calculons la durée nécessaire pour qu'il perde toute son énergie
électrique.
?t = [pic]
?t = 8,1×102 h
?t = [pic] = 4,8 semaines.
Au bout d'environ 5 semaines sans utilisation, le condensateur a perdu
toute son énergie électrique. Il faut alors secouer la lampe pour qu'elle
fonctionne.

3. Simulation de l'éclairage
3.1. Ajout de la DEL sur le schéma :

3.2. Dès que la tension aux bornes de la diode est inférieure ou égale à
Useuil = 3,0 V, le courant ne peut plus circuler dans le circuit. Le
condensateur ne peut plus se décharger alors qu'il y a encore de la tension
à ses bornes.

3.3. Le texte indique que la diode possède une résistance r.
Lors de la décharge uC = U0.e- t/( avec ( = (R+r).C donc la durée
d'évolution de la tension aux bornes du condensateur de 3,6 V à 3,0 V est
modifiée par la présence de la DEL.

3.4. Pour décharger complétement le condensateur, deux solutions sont
possibles :
- on peut court-circuiter le condensateur, un fil reliant ses
armatures permet aux électrons accumulés sur l'armature chargée
négativement de passer instantanément sur l'armature chargée positivement.
- on peut court-circuiter la diode, elle n'empêche plus le courant de
circuler lors de la décharge.
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i

ud

uR