Agrégation Interne 1999

Agrégation Interne 1999 Corrigé des Exercices d'induction & RT
Exo n°1 :
1. La figure montre que toutes les forces élémentaires [pic] sont
colinéaires & de même sens. En supposant que toute la longueur du fil de la
bobine est dans l'entrefer, on a : [pic]. On en déduit l'équation
mécanique avec la relation fondamentale de la dynamique projetée sur l'axe
Ox : [pic] soit : [pic] , le signe + de la force de Laplace traduisant un
fonctionnement en moteur. 2. On est dans le cas de Lorentz, d'où calcul par le champ électromoteur :
[pic]. La figure montre que ce champ est en opposition sur le courant i
(conformément au fonctionnement en moteur), puis [pic]. On en déduit
l'équation électrique par la loi de Pouillet : [pic]. On établit le bilan
de puissances par la combinaison habituelle :
[pic]
[pic]. On élimine le terme commun de couplage [pic] & on obtient le bilan
sous la forme classique : [pic]
[pic], donc [pic] car le circuit est alimenté en permanence par le
générateur E, [pic] traduisant les pertes électriques par effet Joule & les
pertes mécaniques dues aux frottements, & [pic] qui représente l'énergie
stockée par le système, sous forme d'énergie cinétique de translation,
d'énergie magnétique dans l'inductance & d'énergie potentielle élastique
dans le ressort. 3. En régime forcé sinusoïdal : [pic], [pic]d'où on déduit, en introduisant
les grandeurs complexes [pic] que : [pic] & de même :
[pic]. Par élimination de la vitesse, on obtient :
[pic] d'où : [pic] en reportant dans l'équation électrique (E). Il en
résulte que l'impédance mécanique est donnée par la relation :
[pic], d'où on déduit que : [pic], & que :
[pic].
4. Avec les notations de l'énoncé, on obtient : [pic] & [pic], où ( est
une fonction de la pulsation (. Il résulte des expressions précédentes que
( est sans dimension, & que A est homogène à une résistance. 5 & 6. Le numérateur de Rm étant constant, cette quantité sera maximale si
le dénominateur est minimal donc pour [pic], soit pour ( = (o, pulsation
propre correspondant à la résonance. Alors [pic]. Si [pic], & si [pic].
Pour [pic]. La bande passante est définie, selon l'énoncé, par :
[pic] d'où : [pic], où (1 & (2 sont les frontières de la bande passante, ce
qui conduit à l'équation du second degré : [pic], avec [pic], dont les
racines sont : [pic]. Il en résulte que la largeur de la bande passante
vaut :
[pic], avec [pic] & [pic] facteur de qualité. On a donc :
[pic], d'où : [pic], d'où les courbes : 7. On a pour le moment la représentation de la courbe décrite par M en
coordonnées paramétriques, & il s'agit de passer en coordonnées
cartésiennes, donc d'éliminer le paramètre (. Soit : [pic] & on reporte dans X : [pic], d'où :
[pic], équation d'un cercle de rayon [pic] & de centre [pic] appelé cercle
de Kennely. On a placé sur la courbe les valeurs remarquables de la
pulsation.
Exo n°2 :
1. Force de Laplace élémentaire : [pic]. Sur les côtés horizontaux, les
deux vecteurs du produit vectoriel sont colinéaires, donc il ne reste que
les forces sur les côtés verticaux. Le champ [pic] étant constant, elles
ont le même module [pic], & en ce qui concerne leur direction, on se
reporte à la figure. On en déduit le sens de rotation du cadre, & on
vérifie que le couple résultant [pic] a bien le sens du vecteur
unitaire[pic]. Les bras de levier sont identiques, donc le couple
résultant vaut [pic], & donc on en déduit que : [pic] 2. On est dans le cas de Lorentz, & la méthode du champ électromoteur sera
plus commode que l'utilisation du flux coupé (car le flux magnétique à
travers le cadre est toujours nul !). Soit :
[pic], puis [pic]. Les orientations des vitesses sont données par les
vecteurs forces de la figure. Il en résulte que : sur les côtés
horizontaux, le champ [pic] est orthogonal au cadre, & donc sa circulation
est nulle, alors que sur les côtés verticaux, [pic] est porté par le cadre,
& de sens opposé au courant i, conformément à la loi de Lenz (car la
machine est un moteur). En norme, on a : [pic], la circulation se réduit
aux côtés verticaux, donc : [pic], & donc on obtient : [pic], résultat
cohérent avec [pic], traduisant que la conversion d'énergie sur le
transducteur est idéale. 3. e est une fcem, d'où l'équation électrique (E) : [pic]. Pour un système
en rotation, l'équation mécanique est donnée par le théorème du moment
cinétique, soit (M) : [pic], le signe traduisant un couple moteur.
4. On élimine le courant : [pic], où l'on a posé [pic] (constante de
temps), & [pic](valeur en régime permanent). Compte tenu des conditions
initiales, on a [pic], car c'est une grandeur continue, d'où : [pic]. En
reportant dans (E), on obtient : [pic]. Interprétation des valeurs
asymptotiques : à t = 0, ( est nul, donc e aussi, dans le circuit il ne
reste que E & R, d'où la valeur initiale du courant. Pour t -> (, ( croit &
tend vers E/G, donc e tend vers E, & i tend vers 0.
AN : le RP est atteint à 10-3 près si [pic] avec la même précision, donc si
[pic], donc pour : [pic]. 5. On effectue les combinaisons homogènes à des puissances (E)*i & (M)*(,
soit :
[pic] & [pic], & on élimine le terme de couplage G(i :
[pic]. On reconnaît une équation de la forme : [pic].
Le système reçoit en permanence la puissance E.i, ne peut stocker d'énergie
que sous forme cinétique de rotation, & l'effet Joule est la seule cause de
pertes.
6. Seule l'équation mécanique est modifiée & devient (M') : [pic]. On
élimine encore le courant : [pic], ce qui peut s'écrire aussi : [pic], où
l'on a posé : [pic] (le régime transitoire est plus bref, le couple
résistant permet d'atteindre le régime permanent plus vite) & [pic] (la
vitesse limite en régime permanent est plus faible, à cause du couple
résistant). Avec les mêmes conditions initiales, on aura donc :
[pic] loi du même type qu'avant, & pour le courant :
[pic] le courant ne s'annule plus en régime permanent, mais tend vers la
valeur : [pic], d'où les courbes.
AN : d'après le calcul de la question 4 : [pic]. 7. On effectue les combinaisons homogènes à des puissances (E)*i &
(M')*(, soit : [pic] & [pic], & on élimine le terme de couplage G(i. Il
vient :
[pic]. On reconnaît une équation de la forme classique :
[pic], où : [pic] (inchangée), [pic] (inchangée) &
[pic], le second terme correspondant aux pertes mécaniques dues au couple
résistant. 8. On retrouve la première équation mécanique (le système est toujours un
moteur) (M) : [pic]
La nouvelle équation électrique s'écrit (E') : [pic]. On tire i de
l'équation mécanique : [pic][pic]. Sous forme standard, on obtient :
[pic], ce qui s'écrit aussi : [pic], où l'on a posé : [pic], [pic], &
toujours [pic], solution en régime permanent à laquelle s'ajoute la
solution en régime transitoire, solution de l'équation homogène associée :
[pic]. 9. On cherche une solution de la forme [pic], ce qui conduit à l'équation
caractéristique classique :
[pic], dont les solutions sont : [pic]. Suivant les valeurs relatives de (
& de (o, on obtient les régimes apériodique (( > (o), critique (( = (o), &
oscillant amorti (( < (o).
AN : [pic], [pic] & on est donc dans le cas du régime critique, & la
solution s'écrit : [pic]. Il faut déterminer les deux constantes
d'intégration A & ( par les conditions initiales : [pic] & [pic] (système à
l'arrêt). Soit : [pic]. On calcule : [pic]. A t = 0, il vient : [pic],
d'où la solution définitive : [pic]. Exo n°3 :
1.Sur le primaire, le générateur est u1, alors que sur le secondaire c'est
la fem induite [pic], d'où :
[pic], [pic] 2. Dans le transformateur parfait, il n'y a aucune perte, donc : [pic] (pas
de pertes Joule), pas de pertes magnétiques donc la perméabilité µ du
circuit magnétique est infinie, d'où [pic] & les lignes de champ ne sortent
pas du matériau, donc le flux à travers une section droite est conservé :
[pic]. En introduisant les flux à travers les bobinages primaire &
secondaire :
[pic] & [pic], il reste :
[pic], [pic], d'où on déduit la loi des tensions :
[pic]. Le théorème d'Ampère sur la ligne de champ moyenne donne :
[pic] d'où, avec H = 0 [pic]. On en déduit le rendement de la conversion
de puissance : [pic], logique puisqu'il n'y a pas de pertes. 3. L'impédance d'entrée vérifie : [pic], car [pic] impédance de charge du
secondaire. Sur la maille primaire : [pic], soit aussi : [pic]. Une
impédance ramenée au primaire est donc divisée par m², alors qu'une
impédance ramenée au secondaire est multipliée par m². 4. Régime sinusoïdal forcé, avec [pic], & en introduisant les grandeurs
complexes [pic] avec le secondaire en court- circuit (u2 = 0) :
[pic], [pic]. En éliminant le courant secondaire : [pic] & on en
déduit : [pic] donc : [pic], [pic]
D'après la question précédente : [pic] donc [pic]car en principe on a :
[pic] car le secondaire est essentiellement inductif. Alors : [pic]. Dans
le cas du couplage parfait, on a : [pic] car l'inductance est
proportionnelle au carré du nombre de spires. Il en résulte que : [pic], &
la réactance du primaire est annulée (relèvement du facteur de puissance).
La puissance dissipée dans Rm vaut :
[pic], maxi pour [pic], condition réalisable avec un auto -
transformateur. Alors [pic] d'où le rendement [pic]. Exo n°4 :
1. Les champs magnétiques sont proportionnels aux courants : [pic], & on
associe à chaque vecteur plan (vecteur unitaire ou champ magnétique) un
nombre complexe. Les racines cubiques de l'unité correspondent aux vecteurs
unitaires, & on exp