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[pic] La résolution de problèmes
aux cycles 2 et 3
Conférence de Roland Charnay
- Professeur d'IUFM
- Membre du Comité d'experts pour la rédaction des nouveaux
programmes
23 novembre 2005 A- Les problèmes dans le processus d'apprentissage
Par tradition, l'enseignement fonctionne sur le mode : j'apprends ( je fais
(j'applique). Le problème se situe, dans une telle démarche, dans la
seconde partie : je fais après avoir appris (problèmes d'application).
Or, les problèmes devraient être la source, le moteur de la mise en place
de l'apprentissage. Source, moteur et critère de l'apprentissage
Source.
C'est parce qu'un problème se pose, parce que l'on n'a pas la réponse que
de nouvelles connaissances sont nécessaires. Les notions mathématiques
n'ont jamais été introduites pour compliquer.
Pourtant, voici un exemple classique d'un manuel (niveau CE1) :
Dans un bois, 3 rangées de 4 arbres (très souvent, énoncé illustré par un
dessin !!!)....
Question : combien y a-t-il d'arbres ? Réponse rapide des enfants car il
suffit de compter 1 par 1 les arbres.
Question banale, moyen banal d'obtenir la réponse.
Mais, le maître annonce, alors : "je vais vous apprendre une autre
manière de ..." (4+4+4 = 12 ou 4x3 = 12). Introduction d'un moyen plus
compliqué auquel les élèves ne portent aucun intérêt puisqu'ils ont déjà
la réponse !
Moteur
C'est en essayant de résoudre le problème, parce que les outils connus sont
insuffisants qu'apparaît le besoin d'outils nouveaux. Les nouvelles
connaissances émergent alors.
Critères
Une connaissance n'est véritablement maîtrisée que si elle est disponible
pour résoudre de nouveaux problèmes.
Illustration :
Un apprentissage important au CP : mise en évidence de la "valeur
positionnelle" des chiffres.
Dans l'apprentissage de la numération, le plus important n'est pas que les
élèves sachent lire et écrire les nombres, mais qu'ils connaissent la
signification de chacun des chiffres (donc, mise en évidence de la valeur
positionnelle).
Par exemple, dans 203, l'important est de comprendre que ce nombre
représente 2 paquets de 100 et 3, ou 20 paquets de 10 ...... La valeur d'un
chiffre dépend de sa position.
Beaucoup d'élèves sont en difficulté avec les nombres décimaux parce que
cette signification n'a pas été installée.
Un exemple de problème de référence (Cap Maths CP) : le ziglotron
Pb : demander juste ce qu'il faut de boutons pour réparer le ziglotron.
3 étapes (séances) de 45 minutes
Etape 1 : Les élèves disposent du ziglotron, mais les gommettes sont avec
le maître. La demande est libre (orale ou écrite). la vérification est
immédiate, les élèves peuvent corriger.
Dans cette étape, le champ des procédures est très large : dénombrer et
demander le nombre de boutons à l'unité ; faire des groupes de 10 sur le
robot et demander des groupes et des unités ; dénombrer et demander des
groupes de 10 et des unités (pour ces élèves, il y a déjà la valeur
d'interprétation de l'écriture du nombre) Etape 2 : le robot est disponible, mais 4 contraintes :
< commande écrite sur un bon de commande fourni
< ne pas demander plus de 9 boutons isolés
< le marchand donne exactement ce qui est demandé
< vérification différée (discussion dans la classe : ce qui est
demandé correspond-il au besoin ?)
Cette fois, le champ des procédures est réduit, certaines procédures
précédentes sont mises en défaut.
procédures valides : faire des paquets de 10 sur le robot ; dénombrer les
boutons et interpréter le nombre obtenu
Etape 3 : priver les élèves de la possibilité de dessiner les paquets de
10 sur le robot, donc robot non disponible (seul l'enseignant le
possède). Le nombre de boutons est déjà inscrit sur le bon de commande.
Champ des procédures encore réduit : nécessité d'interpréter l'écriture
du nombre ; la commande doit faire référence au nombre (à sa valeur
numérique) et non au dessin.
L'écriture du nombre a donc été problématisée. Il est probable que les
élèves penseront à ce processus dans les problèmes futurs. La démarche n'est pas une simple communication de connaissances, mais
une situation problématique dans laquelle on doit trouver les moyens
de résoudre une difficulté.
Etapes suivantes : synthèse puis entraînement sur fiche (cf. Cap Maths CP
p. 64)
Cet entraînement systématique ne doit pas venir avant le sens. Conclusion : la résolution-problème devrait être au c?ur de
l'enseignement des mathématiques à l'école.
B. Résolution de problèmes : état des lieux (évaluations 6ème) Plus d'un élève sur 5 n'a pas acquis les compétences de base en
mathématiques
Deux domaines particuliers sont concernés : le calcul mental et la
résolution de problèmes Difficulté 1 : disponibilité des connaissances Exemple : Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un
classeur. Chaque page contient 6 photos.
a) combien y a-t-il de pages complètes ? A compléter : Il y a .......
pages complètes
b) combien y a-t-il de photos sur la page incomplète ? Il y a .........
photos sur la page incomplète. a) ( 54 % de bonnes réponses, (soit près d'1 élève sur 2 en échec), 57 %
pour b). Procédures possibles pour résoudre ce problème :
1. division par 6 ( la division (CM1)
2. encadrement par 2 multiples de 6 ( table de multiplication (CE2)
3. addition de 6 en 6 ( l'addition (CE1)
4. schématisation des pages et des photos ( dénombrement (CP) Dans les productions des élèves, on constate:
< ceux qui n'ont pas répondu,
< ceux qui ont répondu en faisant un calcul hasardeux (ex. : 50-6 ;
50x6...)
< que les élèves ayant réussi ont très souvent utilisé les procédures
1 et 2, très rarement 3 ou 4. Conclusion : l'objectif en fin d'école élémentaire est d'amener un
nombre maximum d'élèves à utiliser des procédures élaborées (1 et 2),
mais de faire en sorte que ceux qui n'y arrivent pas soient capables
d'utiliser des solutions moins élaborées mais correctes plutôt que de
ne rien répondre. Difficulté 2 : le raisonnement
40 m Exemple : Un dessin représente un terrain clos. On a indiqué la longueur
de 4 des 5 côtés. 55 m
Problème : la clôture qui entoure ce terrain a une longueur de 260 m.
Trouve la longueur du 5ème côté. Ecris tes calculs Résultats très proches du 1er exemple. Conclusion : la résolution de problèmes ( une priorité
C. Analyse des difficultés
Exemple : les roses et les iris
Un fleuriste fait des bouquets avec des roses et des iris. 1 rose coûte
10 F. et un iris 4 F.
Il doit y avoir 15 fleurs par bouquet et le prix d'un bouquet ne doit pas
dépasser 100 F. 3 réponses sont proposées. Répondre par oui ou non et
expliquer.
Bonnes réponses
a- 8 roses et 5 iris 15 %
b- 5 roses et 10 iris 75 %
c- 8 roses et 7 iris 72 % Les textes des 3 réponses sont identiques. Il n'y a donc pas que des
difficultés de compréhension de l'énoncé (c'est-à-dire de maîtrise de la
langue), sinon les taux de réussite auraient été à peu près identiques. Schéma d'analyse sommaire Elèves Connaissances Connaissances
- en lecture - sur ce qui est attendu
- sur le contexte - sur ce qui est permis
- mathématiques : - sur ce qui "marche" souvent
. sens des opérations - sur "l'accueil" des erreurs
. raisonnement
. calcul Moins un élève est sûr de lui, plus il va "fonctionner à droite" sur le
tableau, donc moins il va apprendre. Les manuels sont, en général,
construits pour fonctionner colonne de droite (en général sur 2 pages.
A gauche : titre, situation de départ, en bas résumé.
A droite : exercices (très peu font appel aux connaissances de la colonne
de gauche).
Utilisation en classe. Apprentissage : résultats normaux.
Contrôle de fin de trimestre : catastrophe !!! Pourquoi ?
Apprentissage : les enfants savent ce qui est attendu, ce qui "marche"
souvent
Contrôle : il exige des connaissances en maths, donc situation de la
colonne de gauche. Conclusion : l'élève qui apprend est celui qui affronte la question
posée et non celui qui essaie de deviner l'intention du maître. D. Quelques pistes pour le travail avec les élèves
1. Apprendre ce que c'est que chercher Exemple de pratique "classique": un maître de CM2 donne à ses élèves le
problème précédent des 50 photos de vacances.
Démarche habituelle : distribution des photocopies à tous les élèves.
Quelques-uns rédigent immédia-tement la réponse, d'autres ...... rien !
Alors le maître "aide" : relis ! cherche ! cherche bien dans ta tête ! ....
mais sans succès.
Commentaires :
Il y a ambiguïté sur le sens du mot chercher qui a un double sens :
. chercher parmi les solutions expertes déjà éprouvées (sens 1),
- chercher (bricoler) une solution nouvelle, originale, personnelle, comme
le chercheur (sens 2).
La pratique scolaire privilégie trop souvent le sens 1, parfois même de
manière exclusive. L'élève se retrouve très rarement dans la 2ème
situation.
( A l'école élémentaire, il faut mettre en place des activités pour
travailler ce sens 2. Exemple : Le maître a 15 images qu'il va donner à 3 élèves. Une enveloppe
pour chacun, autant d'images à chaque élève. Combien aura chacun d'entre
eux ? GS / CP : activités travaillant le sens 2 (sans donner les images aux
élèves, bien entendu !)
CE1 / Début CE2 : travail sur le sens 1 L'école doit faire comprendre aux élèves qu'avec leurs connaissances
ils sont capables de résoudre des problèmes non encore rencontrés
(problèmes de recherche ..... sens 2) Pour Roland