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Evaluation des obligations Relation taux requis-valeur dans le cas de l'intérêt composé
Olivier Levyne (2009)
Docteur en Sciences Economiques
HDR en Sciences de Gestion
Professeur des Universités 1. Notion d'obligation L'entreprise qui souhaite s'endetter à long terme peut se tourner vers deux
catégories de pourvoyeurs de fonds : - les banques. Dans ce cas, l'entreprise contracte un emprunt indivis ;
- les obligataires. Dans ce cas, l'entreprise s'endette auprès d'une
pluralité de prêteurs en émettant des obligations. Le remboursement des obligations est généralement in fine. L'émetteur peut
toutefois prévoir, comme pour un emprunt indivis, un remboursement par
amortissements constants ou par annuités constantes. Dans ces 2 derniers
cas, l'émetteur tire au sort, chaque année, les obligations qui seront
remboursées. Ce nombre correspond au montant amorti (c'est-à-dire
remboursé) au cours de l'exercice considéré rapporté à la valeur nominale
de l'obligation. Exemple Emprunt obligataire de 15 ME composé de 15 000 obligations dont la valeur
nominal est de 1 000 E. Le taux facial est de 10% et la durée de vie de
l'emprunt est de 10 ans. On se propose de présenter les tableaux
d'amortissement et le nombre d'obligations remboursées chaque année dans
les 3 cas suivants :
- remboursement in fine
- remboursement par amortissements constants
- remboursement par annuités constantes
[pic] NB : dans le cas du remboursement par annuité constante, celle-ci est égale
à a qui vérifie :
[pic] 2. Rappel sur l'évaluation d'une obligation à taux fixe La valeur d'un titre (par exemple une obligation) correspond à la somme des
flux de trésorerie actualisés que ce titre procure à son propriétaire. Dans
le cas d'une obligation, les flux de trésorerie correspondent au paiement
des intérêts et au remboursement (ou à l'amortissement) du principal. Dans l'hypothèse où l'obligation est remboursée in fine, le montant restant
à rembourser est le même chaque année. Par conséquent les intérêts, dont le
calcul est fondé sur le montant restant à rembourser, sont constants. Ainsi, si V0 désigne la valeur de l'obligation à la date t=0, c'est-à-dire
le jour de son émission, V0 vérifie : [pic][pic][pic][pic] Où n correspond au nombre résiduel d'années de vie de l'obligation. Exemple 1. Un investisseur souscrit à une émission obligataire. Il achète 1
obligation assimilable du Trésor (OAT), remboursable in fine, dont le
nominal est de 2 000 E, le taux facial de 4% et la durée de vie de 5
ans. Vérifier que, lors de son introduction en bourse, le jour de
l'émission, l'obligation cote 2 000 E
2. Le taux de référence des OAT est porté, au cours de la première journée
de cotation, à 5%. Calculer à combien s'établit le nouveau cours de
l'obligation.
3. En déduire la perte, en pourcentage, subie par l'investisseur
4. Que devient le cours de bourse de l'obligation au bout de 2 ans dans
les hypothèses suivantes :
a. Le taux de référence du marché obligataire (TMO) s'est maintenu à
4%
b. Le taux de référence du marché obligataire (TMO) a été porté à 5% 1. [pic][pic][pic][pic][pic]
2. L'augmentation du taux de référence conduit les investisseurs à exiger
un rendement plus élevé. Les flux futurs reçus par l'obligataire étant
constants, l'augmentation du rendement se traduit par une baisse de la
valeur du titre. Son nouveau cours est obtenu en modifiant le taux
d'actualisation. Ainsi : [pic][pic][pic] 3. La perte est alors de 1913-2000 = -87 E soit [pic]
1. Au bout de 2 ans, la durée de vie résiduelle de l'obligation est de 3
ans. Ainsi, en notant V2 le nouveau cours de l'obligation
a. [pic][pic][pic]
b. [pic][pic][pic]
Le tableau ci-après propose une analyse de sensibilité de la valeur de
l'obligation à la durée de vie résiduelle du titre et au TMO. [pic] Le graphique ci-après, issu du tableau ci-dessus, montre que :
[pic]
- Si le taux de référence du marché (TMO) est égal au taux facial
(4%), la valeur de l'obligation est indépendante de sa durée de
vie résiduelle.
- Plus la durée de vie résiduelle du titre et faible, moins son
cours est sensible à une variation de taux.
- A l'échéance, le cours du titre correspond au nominal (2000 E)
quel que soit le TMO du moment. a. Taux de rendement actuariel brut (TAB) de l'obligation Le TAB est le taux d'actualisation i qui permet d'égaliser :
- d'une part le prix P de l'obligation ;
- d'autre part la somme des flux de trésorerie futurs actualisés à
percevoir jusqu'à l'échéance. Dans l'hypothèse où la durée qui sépare la date d'évaluation de celle
des prochains versements de flux de trésorerie (CF1, CF2,... , CFn)
est un nombre entier d'années :
[pic]
Ainsi, pour une obligation à remboursement in fine, dont la maturité
résiduelle est de 3 ans et qui versera ses prochains intérêts dans 1
an, i vérifie : [pic][pic]
En revanche, si la date d'évaluation est le 2 avril 2009 et que la
date de versement des prochains intérêts est le 2 mai 2009, ceux-ci
sont actualisés sur 31/365° d'année.
Les intérêts suivants seront perçus dans 1 an + 31 jours soit en (1 +
31/365) année...
... puis dans 2 ans + 31 jours soit (2 + 31/365) année.
Dans ce cas :
[pic][pic]
Plus généralement, en notant j le nombre de jours entre la date
d'évaluation et celle du prochain versement de flux de trésorerie :
[pic][pic] Exemple
Soit une obligation émise le 15/04/2007, remboursée in fine et dont la
date de remboursement est le 15/04/2011. Les intérêts sont versés,
chaque année le 15/04.
La valeur nominale de l'obligation est de 1 000 E et son taux facial
de 5%.
Calculer le prix de l'obligation le 24/03/2009 si le taux de référence
du marché obligataire (TMO) est de 6%. En déduire l'équation que
vérifie le TAB et préciser la syntaxe à utiliser sur Excel pour
déterminer le TAB
La durée restant jusqu'au prochain paiement d'intérêts est de 22 jours
soit 22/365 année. Ainsi :
[pic][pic]
Par conséquent :
P = 1028,05 E
Inversement, si le cours de l'obligation est de 1028.05 E, le TAB est
le taux d'actualisation i qui vérifie :
[pic][pic]
Pour résoudre cette équation, il convient d'utiliser la fonction
TRI.PAIEMENTS d'Excel comme suit :
- Sur une feuille Excel, on saisit les dates et les flux
correspondants, la valeur de l'obligation devant être signée
négativement :
[pic]
- Dans ce cas : i = TRI.PAIEMENTS(B1:B4 ; A1:A4).
- Excel fournit le résultat attendu soit i = 6%. A noter que le prix payé intègre les intérêts courus dus au vendeur de
l'obligation. Ce dernier doit, en effet, recevoir des intérêts du fait
de sa qualité de créancier depuis le dernier détachement du coupon
c'est-à-dire depuis le 15/04/2008. Depuis le dernier détachement, il
s'est écoulé 343 jours. Compte tenu d'un délai de 3 jours entre la
date de détachement et la date de règlement, les intérêts courus
portent sur 346 jours, soit [pic]
Le taux de coupon couru est donc égal à 0,95 x 5% = 4,493%. Le coupon
couru est alors égal à 1 000 x 4,493% = 44,93 E b. Obligations perpétuelles Dans l'hypothèse du remboursement d'un crédit d'un montant nominal
V par annuités constants a, il a été vu, au paragraphe précédent
que :
[pic] [pic]
Si le nombre de paiements est infini, on parle de rente
perpétuelle. Dans ce cas, si n tend vers l'infini (1+i)-n tend vers
0. Ainsi :
[pic] [pic]
Les paiements annuels a correspondent uniquement au montant des
intérêts. En principe l'obligataire ne sera pas remboursé. Par
conséquent, en cas de besoin de liquidités, il devra revendre son
titre. Il s'expose ainsi au risque de hausse des taux d'intérêt qui
conduit à une baisse de la valeur de son titre.
A noter que l'entreprise émettrice peut prendre l'inititiative de
rembourser l'obligation perpétuelle. C'est le cas lorsque, depuis
l'émission du titre, le taux d'intérêt de référence (TMO) a baissé.
A titre illustratratif, une entreprise a émis en 2005 des titres
participatifs au taux facial de 5% pour 1 Md E. En 2009, le taux de
référence est ramené à 4%. Dans ce cas, elle s'endette d'1 Md E à
4% et rembourse son emprunt à 5%. Elle reste ainsi endettée d'1 ME
mais paiera désormais des intérêts annuels de 1 000 000 x 4% = 40
KE et non plus de 50 KE. On dit alors que l'entreprise refinance sa
dette.
Exemple
Une obligation perpétuelle a une valeur nominale de 1 000 E. Son
taux facial est de 4% et le TMO de 5%. Calculer le prix P de
l'obligation
[pic]
3. Duration
La duration est la durée moyenne d'attente, en années, pour
percevoir les flux d'une obligation dont le prix est P et la durée
de vie est n. Sa formulation, donnée par Macaulay en 1938, est la
suivante :
[pic]
En développant les sommes, on a :
[pic][pic]
[pic][pic][pic]