DÉFINITIONS D'ALGÈBRE LINÉAIRE

DÉFINITIONS D'ALGÈBRE LINÉAIRE

AFFINITÉ : voir dilatation

ALGÈBRE
Une K-algèbre E (K corps commutatif) est un K-espace vectoriel muni d'une
troisième opération interne, notée multiplicativement, qui est une
application bilinéaire de E2 dans E.
Si de plus cette opération est associative, la K-algèbre est dite
associative ( et (E, +, .) est alors un anneau).
S'il y a un élément unité ( 0, la K-algèbre est dite unitaire (elle
contient alors un corps isomorphe à K).
Exemples : tout surcorps de K, K[X], K[x], KI.

ALTERNÉ
Une application n-linéaire est dite alternée lorsque l'image de tout n-
uplet ayant deux coefficients égaux est nulle. Cette condition est
équivalente à l'antisymétrie (en caractéristique différente de 2).
Lorsque l'on dit que le déterminant est «alterné par rapport aux lignes et
aux colonnes», l'on dit donc qu'un déterminant est nul lorsque 2 lignes ou
2 colonnes sont identiques. C'est cette propriété qui est à la base du fait
que si l'on ajoute à une ligne (ou à une colonne) d'un déterminant une
combinaison linéaire des autres, on ne modifie pas la valeur du
déterminant.

ANTISYMÉTRIQUE
1) Une application n-linéaire est dite antisymétrique lorsque l'image d'un
n-uplet est changée en son opposé si l'on échange 2 coefficients du n-
uplet (voir aussi alterné).

Soit [pic].On a :
f est antisymétrique [pic]
ex : le produit vectoriel et le produit mixte sont antisymétriques.
Lorsque l'on dit que le déterminant est antisymétrique par rapport aux
lignes et aux colonnes, l'on dit donc que si l'on échange 2 lignes ou 2
colonnes, le déterminant est changé en son opposé.

2) Une matrice A de Mn(K) est dite antisymétrique lorsqu'elle est égale à
l'opposé de sa transposée.
Si dans K, 1+1 ( 0, les matrices symétriques de Mn(K) en forment un sous-
espace (mais pas une sous-algèbre) de dimension [pic].

ATTILA
La matrice Attila de format (n, p) est la matrice dont tous les
coefficients sont égaux à 1.
Elle est en effet envahie par les uns...

AUTOMORPHISME
Un automorphisme est un endomorphisme bijectif.
L'ensemble des automorphismes d'un espace vectoriel E muni de l'opération
[pic] est un groupe (non commutatif dès que dim(E) = 2) appelé groupe
linéaire de E, noté GL(E) ou AUT(E).

BASE
1) Base d'un espace vectoriel.
Une base d'un espace vectoriel est une famille libre et génératrice de cet
espace vectoriel. Il est équivalent de dire que c'est une famille libre
maximale ou une famille génératrice minimale. En dimension n, une famille
est une base si et seulement si elle possède n vecteurs et est libre, ou si
et seulement si elle possède n vecteurs et est génératrice.
2) Base d'une dilatation (voir dilatation).

BIJECTIF
La bijectivité équivaut à la conjonction de l'injectivité et de la
surjectivité, mais si f est une application linéaire d'un espace E vers un
espace F et si E et F sont de même dimension finie n, alors :
f est bijective [pic] f est injective
[pic] f est surjective

CARACTÉRISTIQUE (POLYNÔME /)
1) Le polynôme caractéristique d'un endomorphisme f d'un espace vectoriel
de dimension finie n est le polynôme [pic] de K[X] défini par :
[pic].
Ses racines sont les valeurs propres de f.
2) Le polynôme caractéristique d'une matrice A de Mn(K) est le polynôme
[pic] de K[X] défini par :
[pic].
Ses racines sont les valeurs propres de A.
Le polynôme caractéristique de l'endomorphisme f est le même que celui de
toutes les matrices de f dans différentes bases de E (d'où le nom de
"caractéristique").

CODIMENSION
La codimension d'un sous-espace vectoriel de E est la dimension commune de
ses sous-espaces supplémentaires.
En dimension finie, codim(F) = dim(E) - dim(F).

COFACTEUR
Le cofacteur [pic]de la place (i,j) (ou par abus : "de [pic]") d'une
matrice A[pic] est le mineur de la place (i, j) multiplié par (-1)i+j.
Développement suivant une ligne ou une colonne :
[pic].

COLINÉAIRE
Voir lié.

COLONNE (VECTEUR- ou MATRICE-)
Élément de Mn,1(K).

COMATRICE
Matrice des cofacteurs [pic].
On a : [pic].

COMBINAISON LINÉAIRE
Une combinaison linéaire de n vecteurs x1, ... xp, de coefficients [pic]
appartenant à K, est une expression du type [pic].

COMPOSANTE
Lorsque [pic], tout vecteur x de E se décompose en [pic], avec [pic] ;
[pic] est la composante de x sur Fi.
Parfois aussi utilisé comme synonyme de coordonnées.

COORDONNÉES
La famille des coordonnées d'un vecteur x dans une base [pic] d'un espace
vectoriel est l'unique n-uplet de Kn : [pic] tel que [pic].
CRAMER (système et formules de -)
Un système d'équations linéaires est dit de CRAMER lorsque sa matrice est
carrée et de déterminant non nul. Il possède alors une solution unique
donnée par les formules de CRAMER ci - après.
Le système [pic] (i=1,..,n) possède pour unique solution [pic]
donnée par : [pic], où [pic].

DÉPENDANCE LINÉAIRE
Voir à lié

DÉTERMINANT
1) Déterminant d'une famille de n vecteurs en dimension n.
Soit E un espace vectoriel de dimension n, de base B.
Il existe une unique forme n-linéaire alternée (de En vers K) notée[pic].
telle que[pic].
Le déterminant de F = (x1,..., xn) dans la base B est par définition [pic].
On a : F libre [pic][pic]( 0 .
et la formule de passage (dite de Chasles) : [pic].
D'après la définition ci -après, le déterminant de F dans la base B est
aussi le déterminant de la matrice de F dans la base B.

2) Déterminant d'une matrice carrée.
Le déterminant d'une matrice carrée d'ordre n est le déterminant de ses
vecteurs-colonnes dans la base canonique de Kn. En vertu de la formule :
det(tA) = det(A), c'est aussi le déterminant de ses vecteurs-lignes.
Notation: [pic].
On a la formule développée : [pic] où [pic] désigne la signature de [pic].

et les propriétés : [pic]

3) Déterminant d'un endomorphisme.
Soit B une base de E ; le déterminant d'un endomorphisme f de E est le
déterminant de la matrice de f dans la base B, soit [pic] (qui est
indépendant de cette base).

DIAGONALE
1) La diagonale (principale) d'une matrice carrée A est le n-uplet
(A(1,1),..., A(n,n)) dont les coefficients sont dits "coefficients
diagonaux" de la matrice.
2) Une matrice carrée est dite diagonale lorsque ses éléments non diagonaux
sont nuls. On note [pic] la matrice diagonale qui a pour diagonale [pic].

DIAGONALISATION
1) Un endomorphisme f d'un K-espace vectoriel de dimension finie est dit
diagonalisable s'il existe une base dans la quelle sa matrice est diagonale
(on dit qu'il diagonalise dans cette base).
On a les CNS suivantes :
a) il existe une base de vecteurs propres pour f.
b) la somme des sous-espaces propres de f est égale à l'espace
entier.
c) 1e polynôme caractéristique de f possède toutes ses racines dans K
(c'est à dire qu'il est scindé sur K) et l'ordre de multiplicité de chacune
de ses valeurs propres est égal à la dimension du sous-espace propre
correspondant (alors qu'en général il lui est supérieur ou égal).

2) Une matrice carrée d'ordre n à coefficient dans K A est dite
diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale (c'est à dire
qu'il existe P [pic] GLn(K) telle que P-1AP soit diagonale). Il est
équivalent de dire que l'endomorphisme de Kn que A représente est
diagonalisable (et alors tous les endomorphismes qu'elle représente le sont
aussi).

DILATATION, ou AFFINITÉ (vectorielle)
Soit E un K-espace vectoriel décomposé en une somme directe E = F [pic] G
et ? un élément de K.
La dilatation (ou affinité) (vectorielle) de base F, de direction G, de
rapport ? (bijective si ? ( 0) est l'endomorphisme de E défini par :
[pic], autrement dit, c'est [pic].
> Si F={0} (et donc G = E ) on retrouve les homothéties.
> Les projections sont les affinités de rapport nul.
> les symétries sont les affinités de rapport -1.
En dimension finie, on peut définir une affinité de rapport ? comme étant
«un endomorphisme diagonalisable dont l'ensemble des valeurs propres est
inclus dans {1, ?}» ou encore «la somme directe d'une homothétie et d'une
identité» .
En dimension n, un endomorphisme diagonalisable est décomposable en un
produit de n affinités au plus.

DIMENSION
La dimension d'un espace vectoriel E est le nombre d'éléments d'une de ses
bases (finies) (et c'est alors le nombre d'éléments de toutes ses bases).
Elle est dite infinie s'il n'y a pas de base finie.
Notation : dim(E).

DIRECTE (SOMME)
Voir à somme directe.

DIRECTION
Voir dilatation.

DROITE (VECTORIELLE)
Espace vectoriel de dimension 1.

ÉCHELONNÉE (FAMILLE / DANS UNE BASE)
Soit [pic] une famille de vecteurs de matrice A dans une base B [pic]. La
famille F est dite échelonnée dans B, si, après un éventuel renumérotage
des vecteurs de F et de ceux de B, la matrice A vérifie : [pic] , avec
[pic].
Exemple : une famille de polynômes de degrés ou de valuations distinctes
est échelonnée dans la base canonique de Kn[X].
Une famille échelonnée est libre.

ENDOMORPHISME
Un endomorphisme d'un espace vectoriel E est une application linéaire de E
dans E. Leur ensemble forme un sous-espace vectoriel de E noté L(E) ou
END(E).
Plus généralement, un endomorphisme pour une structure donnée est un
morphisme pour cette structure dont l'ensemble de départ est égal à
l'ensemble d'arrivée.

ENGENDRÉ (SOUS-ESPACE - )
Le sous-espace vectoriel engendré par une famille (x1,..., xn) de vecteurs
est l'ensemble (noté Vect(x1,..., xn) ) des combinaisons linéaires de
x1,..., xn.
C'est le "plus petit" sous-espace contenant tous les xi, en ce sens que
tout sous-espace contenant les xi le contient.

ÉQUIVALENTE
1) Deux matrices A et B de Mnp(K) sont équivalentes si elles sont matrices
d'une même application linéaire, dans des bases que