Etat logique Etat logique

. En algèbre de Boole ou algèbre logique, le raisonnement se fait
uniquement sous forme binaire. Une chose est ou n'est pas. . La variable booléenne est susceptible de prendre deux valeurs
distinctes et non simultanées.
. Cette forme de raisonnement s'applique parfaitement à l'étude des
automatismes ou les appareils et les circuits ne peuvent prendre que
deux états. V L'information logique d'une entrée d'un système automatisé se
représente par un contact électrique. V Un contact électrique permet d'établir ou d'interrompre un
circuit. V Un contact « e » est une variable binaire, il pourra être
actionné :
On dira « e »=1 ou non actionné « e » = 0 Remarque :
. Il existe deux types de contacts NO ou NF (NO = normalement ouvert) e (NF = normalement fermé) e . Par convention, une action sur « e » sera noté e
une non action sur « e » sera noté e
SCHEMA 1 SCHEMA 2 S1 S2
a b
contact NO Lampe
au repos éteinte S1 b
a contact NO
actionné Lampe allumée
Variable d'entrée Variable
d'entrée
Etat logique Etat logique
1 a = 0 a = 1 1 b = 0 b = 1 0 temps 0 temps Variable de sortie
Variable de sortie Etat logique Etat logique
allumée allumée éteinte
S1 = 0 S1 = 1 S2 = 1
1 1
temps S2 = 0 temps
0 0
(Forme littérale
Lorsqu'il y a action sur a, la lampe
s'allume.
Lorsque a est au repos, la lampe s'éteint
(Forme schématique électrique voir schéma 1 (Forme logigramme : symbole logique
a S1 fonction OUI (Forme arithmétique : table de vérité
|a |S1 |
|0 |0 |
|1 |1 |
(Forme algébrique : équation logique S1 = 1 quand a = 1 D'où S1 = a Remarques : La table de vérité est un tableau ordonné qui permet de faire
l'inventaire de toutes les combinaisons possibles des variables d'entrées. Les équations logiques traduisent la table de vérité.
. Les relations particulières permettent de simplifier des expressions
logiques lorsqu'elles se présentent sous la forme des équations
suivantes. V écrire les équations d'après les représentations électriques
suivantes. . Commutativité. a + b = b + a a . b = b .a . Associativité. a+ ( b + c ) = ( a + b ) + c a . ( b . c ) = ( a . b ) . c . Distributivité. a. ( b + c ) = a . b + a . c ( a + b ) . ( c + d ) = a . c + a . d
+ b . c + b . d . Identités remarquables. a+ a . b = a a + a . b = a + b
Exemples: Y = abd + abd = a b ( d + d ) = a b . 1 = a b Z = ( a + b ) . ( a + b ) =
W = ( a bcd ) + ( acd ) = Problème 1 : simplifier l'équation logique S = a ( a + b ) Analyse électrique
a a s b S = 1 quand a et b actionné
quand a actionné seul donc Conclusion : . Lorsqu'une somme logique contient un terme et un multiple de ce terme,
on peut supprimer ce multiple. Ex : a + a.b . Inversement, on peut ajouter à une somme, un multiple d'un terme de
cette
somme, soit : S = a et S = a + ab (relation
d'absorption)
. Lorsqu'une somme logique contient un terme et qu'un autre terme
contient le complément de ce terme, on peur supprimer ce complément.
Ex : a + a.b
Résoudre les équations suivantes : 1° a + a + a + a =
2° a + a =
3° a + a + a =
4° b + bc + ab =
5° a . 1 =
6° a + 1 =
7° a . 0 =
8° a + 0 =
9° a ( bc . 0 ) =
10° abc + a +a =
11° bc ( 1 + 0 ) =
12° abc + ac + ab + a + a =
13° abcd + cd + bc + 1 + bc.0 =
Résoudre les équations suivantes :
14° (abc + a + bc + c + ab + b).a.a =
15° a + a + ab + ab + a.a =
16° cb + c + b + cc + b.b =
17° (ab).(c + 1).(b.b + a) =
18° (b.b) + (b + b) =
19° (b.b).(b + b) =
20° (abcde + abcd + abc).(abc + a + a).(abca) = Etablir les équations des schémas suivants :
L1
a d L1 = e b c a d L2
L2 = a b c
L3 L3 =
a c b L4 b c d L4 = a
e
c L5 L5 =
a b d f Etablir les équations des schémas suivants.
L6
L6 =
a c b L7
L7 = a c d L8
L8 = a
b c Etablir les schémas électriques pour les équations suivantes : 1° KA1 = c.b + a.d
2° KA2 = b.a + d (c + e)
3° KA3 = a.(b + ka3)
4° KA4 = c + (a.ka4)
5° KA5 = b.[d.e + a.(c +f)]
6° KA6 = b.a + a.c.d Faire les logigrammes des équations suivantes en utilisant des cellules
ET ; OUI ; NON et OU : M = (a + b).c N = (b + c) (a + d) P = b + (c.a.e.d)
Etablir les logigrammes des équations L1 à L5 (voir p 11), en utilisant des
cellules ET ;OU ;OUI et NON. Interprétation des analyses précédentes.
Etablir les logigrammes de ces équations en utilisant que des fonctions
NOR. S = a + (b.c) T = (b + a) ( a + c) U =[( a + c).e] [ b
+ d ] Etablir les logigrammes de ces équations en utilisant que des fonctions
NAND. V = a + (b.c) W = (b + a) ( a + c) X =[( a + c).e] [ b
+ d ] S1
KM1
S2
S3 S4 H1 Travail demandé. 1° Donnez les équations de KM1 et de H1 2° Simplifier par le théorème de DE MORGAN 3° Réaliser le schéma électrique équivalent 4° Faire la table de vérité 5° Effectuer la vérification de la table de vérité pour H1 et KM1 6° Vérifier vos résultats en affectant 2 valeurs différentes 1011 et
1001 aux entrées dans l'ordre S1, S2, S3, S4 et en complétant les niveaux
intermédiaires et terminaux obtenus (à faire sur le logigramme).
Utiliser 2 couleurs différentes pour les combinaisons. ( Travail demandé. 1° Donnez les équations des récepteurs 2° Faire la table de vérité 3° Réaliser les logigrammes correspondants. 4° Vérifier vos résultats en affectant 2 valeurs différentes 0100 et
0111 aux entrées dans l'ordre S1, S2, S3, S4.
Simplification des équations logiques par la méthode algébrique d'une
amplification sonore. (Les trois haut-parleurs d'une salle de cinéma (appelés a, b, c) sont
branchés sur un amplificateur à deux sorties.
- une sortie d'impédance 4 ohms (sortie S4)
- une sortie d'impédance 8 ohms (sortie S8) (Les données sont les suivantes :
- un seul haut-parleur doit être relié à la sortie 8 ohms
- Deux haut-parleurs doivent être reliés à la sortie 4 ohms
- Le fonctionnement simultané des trois haut-parleurs est interdit Travail demandé. 1° Rechercher les équations des sorties S4 et S8 2° Etablir les logigrammes des sorties 3° Réaliser le schéma électrique
Réponse : Simplification des équations logiques par la méthode algébrique d'une
serrure de coffre. (Quatre responsables (A, B, C, D) d'une société peuvent avoir accès à un
coffre. Ils possèdent chacun une clé différente (a, b, c, d). ( Les données sont les suivantes :
- le responsable A ne peut ouvrir le coffre qu'en présence du
responsable B ou du responsable C.
- les responsables B, C, D ne peuvent ouvrir le coffre qu'en présence
d'au moins deux des autres responsables.
Travail demandé. 1° rechercher l'équation logique de la serrure (S) en fonction des
clés des responsables. 2° Simplifier l'équation de S 3° Etablir le schéma électrique ainsi que le logigramme en utilisant
que des fonctions NAND puis que des fonctions NOR. Réponse :
[pic]
-----------------------
1 1 & 1
[pic] 1 1 [pic] S = a S = a
Analyse algébrique
S = a.a + a.b
S = a + a.b
S = a (b + 1)
Les contacts seront appelés variables d'entrées. Ces deux états seront notés par les symboles 0 et 1. [pic] [pic]
D'où S2 = b
(Forme littérale
Lorsque le contact b est au repos, la lampe est allumée.
Lorsqu'il y a action sur b, la lampe s'éteint.
(Forme schématique électrique voir schéma 2 (Forme logigramme : symbole logique
b S2 fonction NON (Forme arithmétique : table de vérité
b |S2 | |0 |1 | |1 |0 | |
(Forme algébrique : équation logique S2 = 1 quand b = 0
1
Algèbre de BOOLE Introduction
1 [pic]1 S1 S1 S3 S2 S3 S4
S4 S2 H2
KA1 Réponse exercice 9.
Représentation phys