Bac maths S 2002 - National

Bac S 2002 - Sujet national Exercices : probabilité, complexe, arithmétique - Problème : fonction
exponentielle. Annales bac S non corrigées http://debart.pagesperso-orange.fr/ts
Document Word : http://www.debart.fr/doc/bac_2002/bac_s_national_2002.doc BACCALAUREAT GENERAL Session 2002
Epreuve: MATHEMATIQUES
Série : S Durée : 4 heures Coef. : 7 ou 9
OBLIGATOIRE et SPECIALITE L'utilisation d'une calculatrice est autorisée Le candidat doit traiter les DEUX exercices et le problème. La qualité de
la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies.
Le formulaire officiel de mathématiques, prévu par l'arrêté du 27 mars
1991, et deux feuilles de papier millimétré sont joints au sujet. Dès que le sujet vous est remis assurez-vous qu'il est complet.
Ce sujet comporte 4 pages numérotées de 1 à 4. EXERCICE 1 commun à tous les candidats Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O, [pic],
[pic]) ayant comme unité graphique 2 cm. 1. Résoudre dans C l'équation : z2 - 2 [pic] z + 4 = 0.
On pose a = [pic] + i et b = [pic] - i. Ecrire a et b sous forme
exponentielle et placer les points A et B d'affixes respectives a et b. 2.a. Soit r la rotation de centre O d'angle [pic].
Calculer l'affixe a' du point A' image du point A par r. Ecrire a' sous
forme algébrique et placer A' sur la figure précédente.
b. Soit h l'homothétie de centre O et de rapport [pic].
Calculer l'affixe b' du point B' image du point B par h. Placer B' sur la
figure précédente. 3. Soit C le centre du cercle circonscrit au triangle OA'B' et R le rayon
de ce cercle. On désigne par c l'affixe du point C.
a. Justifier les égalités suivantes :
[pic] = R2 ; [pic] = R2 ; [pic] = R2.
b. En déduire que [pic] = 2i puis que [pic].
c. En déduire l'affixe du point C et la valeur de R.
EXERCICE 2 pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité 1. On considère l'équation (E) : 6x + 7y = 57 où x et y sont des entiers
relatifs.
a. Déterminer un couple d'entiers relatifs (u, v) tel que 6u + 7v = 1 ; en
déduire une solution particulière (x0, y0) de l'équation (E).
b. Déterminer les couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).
2. Soit (O, [pic], [pic], [pic]) un repère orthonormal de l'espace.
On considère le plan P d'équation : 6x + 7y + 8z = 57.
On considère les points du plan P qui appartiennent aussi au plan (O,
[pic], [pic]). Monter qu'un seul de ces points a pour coordonnées des
entiers naturels ; déterminer les coordonnées de ce point.
3. On considère un point M du plan P dont les coordonnées x, y et z sont
des entiers naturels.
a. Montrer que l'entier y est impair.
b. On pose y = 2p + 1 où p est un entier naturel.
Monter que le reste dans la division euclidienne de p + z par 3 est égal à
1.
c. On pose p + z = 3q + 1 où q est un entier naturel.
Montrer que les entiers naturels x, p et q vérifient la relation : x + p +
4q = 7
En déduire que q prend les valeurs 0 ou 1.
d. En déduire les coordonnées de tous les points de P dont les coordonnées
sont des entiers naturels.
EXERCICE 2 candidats n'ayant que l'enseignement obligatoire 1. Une urne contient quatre jetons numérotés de 1 à 4.
On tire au hasard un jeton de l'urne, on lit le numéro, noté a, porté sur
le jeton puis on remet le jeton tiré dans l'urne. On tire ensuite un
deuxième jeton de l'urne et on note b le numéro du jeton tiré.
Soit (O, [pic], [pic], [pic]) un repère de orthonormal de l'espace. On
considère les vecteurs [pic] et [pic] de coordonnées respectives (a,-5.1,-
a) et (1+b,1,b).
Montrer que la probabilité que ces vecteurs soient orthogonaux est égale à
[pic].
2. Deux personnes A et B jouent au jeu suivant, constitué d'un certain
nombre de parties identiques décrites ci-après : au cours d'une partie,
chaque joueur effectue le tirage de deux jetons décrit dans la première
question.
Si A obtient des vecteurs orthogonaux et B des vecteurs non orthogonaux, A
est déclaré vainqueur, le jeu s'arrête.
Si A obtient des vecteurs non orthogonaux et B des vecteurs orthogonaux, B
est déclaré vainqueur et le jeu s'arrête.
Dans les autres cas, les joueurs entreprennent une nouvelle partie ; le jeu
continue.
Pour tout entier n, on désigne par :
An l'événement : "A gagne la n-ième partie"
Bn l'événement : "B gagne la n-ième partie"
Cn l'événement : "le jeu continue après la n-ième partie"
a. Calculer les probabilités p(A1), p(B1), et p(C1).
b. Exprimer p(Cn+1) en fonction de p(Cn) et montrer que p(Cn) = [pic].
Exprimer p(An+1) en fonction de p(Cn) et en déduire que p(An) = [pic].
3. a. Déterminer la limite de p(An) quand n tend vers + (.
b. Déterminer le plus petit entier n tel que p(An) soit inférieur ou égal à
0,01.
PROBLEME commun à tous les candidats Partie A On considère la fonction f définie sur R par f(x) = [pic].
On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O,
[pic], [pic]).
(Unité graphique 2 cm) 1) a) Déterminer les limites de f en - ( et en + (.
b) Montrer que la droite ( d'équation y = [pic] est asymptote à C.
Etudier la position de C par rapport à (. 2) Montrer que f est dérivable sur R et calculer f '(x). 3) Soit u la fonction définie sur R par u(x) = 1 + (1 - 2x)e2x.
a) Etudier le sens de variation de u.
b) Montrer que l'équation u(x) = 0 possède une solution unique ( dans
l'intervalle [0, 1].
Déterminer une valeur décimale approchée par excès de ( à 10-2 près.
c) Déterminer le signe de u(x) suivant les valeurs de x. 4) Etudier le sens de variation de f puis dresser son tableau de
variation.
Partie B Dans le plan muni d'un repère orthonormal (O, [pic], [pic]), on considère
la courbe ( d'équation y = ex et la droite D d'équation y = x. Les courbes
( et D sont tracées ci-dessous : [pic] 1) Soit t un réel ; on désigne par Mt le point de ( d'abscisse t.
La tangente à ( au point Mt coupe l'axe des ordonnées au point Nt.
Déterminer les coordonnées du point Nt. 2) On désigne par Pt le point de D d'abscisse t et par Gt l'isobarycentre
des points O, Mt, Pt et Nt. Le point Gt est donc le barycentre des points
pondérés (O, 1), (Mt, 1), (Pt, 1) et (Nt, 1).
a) Placer les points M-2, P-2 et N-2, puis construire, en justifiant, le
point G-2 sur la feuille annexe.
b) Déterminer en fonction de t les coordonnées du point Gt. 3) Quel est l'ensemble des points Gt, quand t décrit R ? Partie C 1) Construire la courbe C de la partie A sur la feuille annexe à votre
sujet.
2) Calculer l'aire A, en cm², du domaine plan délimité par la courbe C, la
droite ( et les droites d'équation x = 0 et x = 1 (on pourra utiliser une
intégration par parties).