Liste 1 : 4 Exercices Corrigés Variable Aléatoire-Loi Binomiale - Free

Liste 1 : 4 Exercices Corrigés Variable Aléatoire-Loi Binomiale
|Un joueur lance deux dés don't les faces sont numérotées de 1 à|
|6. On suppose que les dés sont non-truqués et donc que pour |
|chaque dé, toutes les faces ont la même probabilité |
|d'apparition. |
|Le joueur suivant les règles suivantes: |
|- Si les deux dés donnent le même numéro alors le joueur perd |
|10 points |
|- Si les deux dès donnent deux numéros de parités différentes |
|(l'un est pair et l'autre impair) alors il perd 5 points. |
|- Dans les autres cas il gagne 15 points. |
|Le joueur joue une partie et on note X la variable alèatoire |
|correspond au nombre de points obtenus par lui. |
| a . Déterminez la loi de probabilité de X puis calculez |
|l'espérance de X. |
| b. Représentez graphiquement la fonction de répartition|
|de X. |
|Le joueur effectue 10 parties de suites. Les résultats des |
|parties sont indépendants les uns des autres. |
|On appelle alors Y la variable aléatoire égale au nombre de |
|fois que le joueur gagne 15 points. |
| c. Expliquez pourquoi Y suit une loi binomiale. Quels sont|
|les paramètres de Y? |
| d. Quelle est la probabilité que le joueur gagne au moins |
|une fois 15 points? |
| e. Combien de fois le joueur peut espérer gagner 15 |
|points? |
| Le joueur joue n parties de suite. |
| f. Quelle est la probabilité qu'il gagne au moinss une |
|fois 15 points? |
| g. A partir de quelle valeur de n sa probabilité de gagner|
|au moins une fois |
| 15 points est strictement supérieure à 0,9999 ? |
|Correction |
|[pic] |
| Amérique de Nord Juin 2000 Bac ES |
|Les résultats de cet exercice seront donnés sous forme décimale|
|arrondie au centième. |
|Un camp d'adolescents propose des stages d'activités nautiques |
|pour débutants avec au choix: Planche à voile , plongée ou ski |
|nautique. |
|Lors d'un stage donné, ce camp accueille vingt jeunes don sept |
|seront initiés à la planche à voile, huit à la plongée et cinq |
|au ski nautique. |
|Chaque stagiaire ne pratique qu'une seule des trois activités. |
|I. On forme un groupe de 3 stagiaires choisis au hasard parmi |
|les vingt. |
| a: Combien de groupes est-il possible de former? |
| b: Déterminez la probabilité de chacun des événements |
|suivants: |
| A : " les trois stagiaires pratiquent des activités |
|différentes " |
| B : " Les trois stagiaires pratiquent la même |
|activité " |
| C : " Au moins l'un des trois stagiaires pratique le |
|ski nautique ". |
| |
|II . Parmi les trois stagiaires, un seul se prénomme Christian.|
| |
| Chaque jour, on choisit un groupe de trois stagiaires |
|chargé du service au |
| repas de midi. |
| a. Montrez que la probabilité que Christian soit choisi |
|un jour donné |
| pour le service de midi est égale à 0,15. |
| b. La durée du stage est de cinq jours. |
| Quelle est la probabilité de ne jamais choisir |
|Christian pour le service |
| de midi pendant le séjour ? |
| c. Quelle est la probabilité de le choisir exactement |
|une fois ? |
| d. Montrez que la probabilité de choisir Christian au |
|moins deux fois |
| est inférieur à 0,2 . |
|Correction |
|[pic] |
|D'après France Métropolotaine Septembre 1999 - Bac ES |
|Un entraineur d'une équipe de football a étudié les |
|statistiques de tir au but (pénalty) de ses joueurs. Il a |
|alors remarquer que sur une série de cinq tirs au but, un |
|joueur pris au hasard dans son équipe marque |
|- 5 buts avec une probabilité de 0,2 |
|- 4 buts avec une probabilité de 0,5 |
|- 3 buts avec une probabilité de 0,3. |
|Chaque joueur, à l'entrainement, tire 2 séries de 5 ballons. On|
|admet que les résultats d'un joueur à chacune des 2 séries |
|sont indépendants. |
|Soit X la variable aléatoire égale au nombre de tirs aux buts |
|réussis par un joueur au cours d'un entrainement. |
|I. |
| a . Calculez la probabilité, pour un joueur pris au hasard, |
|de réussir tous ses tirs au |
| buts lors d'un entrainement. |
| b . Précisez les valeurs possibles pour X et établir sa loi |
|de probabilité. |
| (on pourra s'aider d'un arbre). |
| c . Calculez l'espérance de X . |
| |
|II. L'entraineur considère que le joueur a réussi l'épreuve des|
|tirs au but lorsque X > 8. |
| Montrez que la probabilité pour un joueur de réussir cette|
|épreuve lors d'un |
| entrainement est égale à 0,61 . |
| |
|III.Chaque joueur participe à 10 séances d'entrainement. |
| On admet que les épreuves de tirs au but sont indépendantes|
|les unes des autres. |
| On appelle Y la variable aléatoire égale au nombre de |
|succés d'un joueur à l'épreuve |
| des tirs au but au cours des ces 10 entrainements, c'est à |
|dire le nombre de fois où |
| il a marqué au moins 8 buts. |
| Si au cours d'une séance d'entrainement, il ne marque pas |
|au moins 8 buts, |
| on dit qu'il a eu un échec. |
| Les résultats seront donnés par défaut, avec 3 chiffres |
|après la virgule. |
| Calculez pour un joueur : |
| a . la probabilité de n'avoir aucun échec lors des 10 |
|séances. |
| b . la probabilité d'avoir exactement 6 succès . |
| c . la probabilité d'avoir au moins 1 succès. |
| |
|III .Calculez le nombre minimale d'entrainement auxquels doit |
|participer |
| un joueur pour que la probabilité d'avoir au moins un |
|succès soit supérieure à 0,99. Correction |
|[pic] |
|Antilles-Guyane 1995 Bac S |
|Une épreuve consiste à jeter une fléchette sur une cible |
|partagée en trois cases notées |
| 1 , 2 , 3. |
|Deux concurrents A et B sont en présence. |
|On admet qu'à chaque lancer, chacun atteint une case et une |
|seule et que les |
|lancers sont indépendants. |
|Pour le concurrent A, les probabilités d'atteindre les cases 1 |
|, 2 , 3 |
|sont dans cet ordre : |
| 1 1 7|
| |
| 12 3 12 |
|Pour le concurrent B, les trois éventualités sont |
|équiprobables. |
|Les résultats demandés seront donnés sous forme de fractions |
|irréductibles. |
|I. Le concurrent A lance la fléchette 3 fois. |
| Les résultats des 3 lancers sont indépendants. |
| a . Quelle est la probabilité pour qu'il atteigne chaque |
|fois la case 3? |
| b . Quelle est la probabilité pour qu'il atteigne les cases |
| 1 , 2 , 3 dans cet ordre ?