Fonctions convexes, concaves

Mathématiques 1 2008-2009
Cours de Claude Bressand, Claire Pignol et Jean-Pierre Leca TD 5. Calcul de dérivées
Exercice 1
Donner la dérivée des fonctions :
. f(x) = (ex + 3x²)ln x
. g(x) = (2x+1)/(x-2)
. h(x) = xnemx Exercice 2
1. Calculer les dérivées première, deuxième et troisième de la fonction
f(() définie par : f(x) = e2x .
2. En déduire la dérivée d'ordre n de cette fonction (on fera un
raisonnement par récurrence).
3. Mêmes questions pour la fonction g(() telle que g(x) = x( , x > 0, a >
0. Exercice 3
Calculer les dérivées première, deuxième et troisième de la fonction f(()
définie par :
f(x) = ln (1+x) .
Exercice 4
Soient f(() et g(() deux fonctions de classe C1 sur IR. Donner, lorsqu'elle
existe, la
dérivée des fonctions v((), w((), h(() et r(() définies par :
1. v(x) = [pic]
2. w(t) = f3[pic]
3. h(s) = [pic]
4. r(y) = f²(g(ey²)) Exercice 5 (facultatif)
1. Monter que la fonction f(() définie par f(x) = x ( ln x est strictement
croissante lorsque x > 1.
2. En déduire que ln x < x pour tout x > 0.
3. En posant x = t1/2., en déduire que ln t < 2(t1/2,et donc que (ln t)/t
tend vers 0 lorsque t tend vers l'infini.
4. Déduire du résultat précédent que, si a > 0 :
- (logax)/x tend vers 0 lorsque x tend vers l'infini ;
- (logax)/xb tend vers 0 lorsque x tend vers l'infini (b > 0) ;
- x(logax tend vers 0 lorsque x tend vers 0+. Corrigé (CB)
Rappel des formules de base de dérivation que tous les étudiants doivent
connaître par c?ur :
(x?)' = ? x?-1
(ex)' = ex
(ln x)'= [pic]
[pic].
[pic]
Si f(x)= g(h(x)), f'(x)=g'(h(x))h'(x) Cette formule s'appelle formule de
la dérivée d'une fonction de fonction ou formule de dérivation en chaîne.
Pour résoudre cet exercice simple, il faut reconnaître dans l'expression de
f(x) la formule appropriée.
TD 6. Accroissements finis. Mac Laurin.
Fonctions convexes, concaves
Exercice 1
1. Ecrire le théorème des accroissements finis à la fonction x ( 1/x en
deux points a et b de même signe.
2. En déduire que la racine carrée du produit de deux nombres de même signe
est comprise entre ces deux nombres. Exercice 2
Soit la fonction de IR dans IR telle que x ( ax² + bx + c , a ( IR*, b (
IR,c ( IR.
1. Quelle est l'allure du graphe de cette fonction ?
2. Appliquer la formule des accroissements finis à cette fonction sur un
intervalle [x0,x1]. Interpréter géométriquement le résultat obtenu. Exercice 3
Donner le développement de Mac Laurin d'ordre n de :
. ex ; en déduire une expression du nombre e, en tant que série ;
. (1+x)( ; à quelle formule l'expression trouvée fait-elle penser ? Exercice 4
1. Donner deux exemples de fonctions convexes sur IR.
2. Soit a ( IR+ et f(() une fonction de IR dans IR telle que
[pic].
a) f(() peut-elle être convexe sur IR ?
b) Soit a > 1.
- Déterminer le nombre de points-candidat à être un extremum de f(().
- Déterminer le nombre d'extrema de f(().
- Sur quel(s) intervalle(s) la fonction f(() est-elle convexe ?
c) Mêmes questions lorsque a ( [0,1[.
d) Mêmes questions lorsque a = 1.
Dans chacun des cas, on trouvera l'allure du graphe de f(().
Exercice 1
Le théorème des accroissements finis :
Si f(x) une fonction dérivable sur l'intervalle [pic], alors il existe
[pic] 1. Supposons a et b positifs, avec a