Principe Fondamental de la Statique et applications

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Table des Matières


Modélisation des liaisons 1

1 - Degrés de liberté d'un solide 1
2 - Liaisons élémentaires de 2 solides 1
3 - Modélisation d'un mécanisme 3

Modélisation des Actions Mécaniques 4

1 - Définition d'une Action Mécanique (A.M.) 4
2 - Une A.M. particulière : la Force 5
3 - A.M. assimilables à des forces 6
4 - Moment d'une force par rapport à un point 8
5 - Modélisation d'une force par un torseur 10
6 - Modélisation d'une A.M. quelconque par un torseur 11
7 - Changement du point de réduction d'un torseur 12
8 - Torseurs particuliers 12
9 - A.M. transmissibles par les liaisons usuelles 13

Principe Fondamental de la Statique 16

1 - Isolement d'un système matériel 16
2 - Equilibre d'un système matériel dans un repère galiléen 16
3 - Principe fondamental de la statique 17
4 - Cas d'un système soumis à 2 ou 3 forces 18
5 - Simplification plane 20
6 - Equilibre isostatique ou hyperstatique 21
7 - Démarche de résolution d'un problème de statique 22

Cinématique 23

1 - Trajectoire, vitesse, accélération 23
2 - Mouvements plans 25
3 - Torseur cinématique 27

Energétique 29

1 - L'énergie 29
2 - La puissance 29
3 - Le principe de la conservation de l'énergie 30
4 - Rendement d'un système 30
5 - Travail et puissance d'une action mécanique 30
6 - Les différentes formes de l'énergie mécanique 32
7 - Conservation de l'énergie mécanique 33
8 - Théorème de l'énergie cinétique 33

Dynamique 34

1 - Principe fondamental de la dynamique (P.F.D.) 34
2 - P.F.D. appliqué à un solide en mouvement de translation (rectiligne ou
curviligne) 34
3 - P.F.D. appliqué à un solide en mouvement de rotation autour d'un axe
fixe de symétrie de (S) 35

Résistance des matériaux 36

1 - Hypothèses de la R.D.M. 36
2 - Torseur de cohésion d'une poutre 36
3 - Contraintes locales dans le matériau 37
4 - Caractéristiques mécaniques d'un matériau 38
5 - Traction - Compression 38
6 - Cisaillement 39
7 - Torsion 39
8 - Flexion 40

Mécanique des fluides 42

1 - Hypothèses 42
2 - Statique des fluides (hydrostatique) 42
3 - Ecoulement permanent 43


Modélisation des liaisons


1 Degrés de liberté d'un solide

|[pic] |Un solide libre dans l'espace possède 6 |
| |degrés de liberté (ou mobilités) : |
| |- 3 translations |
| |- 3 rotations |
| | |
| |Ces 6 degrés de liberté permettent au solide |
| |d'occuper n'importe quelle position dans |
| |l'espace. |


Si ce solide est une pièce d'un système mécanique (ex : aiguille d'une
montre, roue d'une voiture, contact mobile d'un disjoncteur...) le nombre
de ses degrés de liberté sera limité par les liaisons qu'il entretient avec
les autres pièces du système.


2 Liaisons élémentaires de 2 solides

Les liaisons élémentaires sont les liaisons les plus courantes qui
peuvent unir 2 pièces d'un mécanisme.


On peut reconnaître une liaison élémentaire entre 2 solides :
- en observant les mouvements possibles d'un solide par rapport
à l'autre
- en identifiant la nature des surfaces de contact entre les 2
solides.


Pour que les mobilités de la liaison puissent être clairement
définies, il faut les exprimer dans un repère qui possède une orientation
particulière par rapport à la liaison.


On les représente à l'aide de schémas normalisés (voir tableau ci-
après) qui permettent de modéliser un mécanisme sous la forme d'un schéma
cinématique (comme on modélise un circuit électrique par un schéma
électrique).


Une liaison élémentaire peut être obtenue par association d'autres
liaisons élémentaires (ex : glissière d'un étau réalisée par 2 pivots
glissants).
Toute liaison élémentaire peut-être obtenue par association de
liaisons ponctuelles.


|Nature de la |Schématisation |Schématisation plane |Mouvements |
|liaison et position|spatiale | |possibles dans le|
|par rapport au | | |repère donné |
|repère | | | |
|Encastrement |[pic] |[pic] |[pic] |
|Glissière d'axe |[pic] |[pic][pic] |[pic] |
|(A,[pic]) | | | |
|Pivot d'axe |[pic] |[pic] [pic] |[pic] |
|(A,[pic]) | | | |
|Pivot glissant |[pic] |[pic][pic] |[pic] |
|d'axe (A,[pic]) | | | |
|Hélicoïdale d'axe |[pic] |[pic][pic] |[pic] |
|(A,[pic]) | | | |
|Rotule de centre A |[pic] |[pic] |[pic] |
|Linéaire annulaire |[pic] |[pic] [pic] |[pic] |
|de centre A et | | | |
|d'axe (A,[pic]) | | | |
|Appui plan de |[pic] |[pic] |[pic] |
|normale (A,[pic]) | | | |
|Linéaire rectiligne|[pic] |[pic][pic] |[pic] |
|de normale | | | |
|(A,[pic]) et de | | | |
|droite de contact | | | |
|(A,[pic]) | | | |
|Ponctuelle de |[pic] |[pic] |[pic] |
|normale (A,[pic]) | | | |
3 Modélisation d'un mécanisme

|( But de la |la modélisation consiste à représenter un mécanisme de |
|modélisation : |façon simplifiée afin d'étudier son comportement |
| |mécanique. |


( Méthode générale pour modéliser un mécanisme :


|Etapes |Conseils |Exemple du serre-joint |
| | |[pic] |
|1°) Repérer quels sont|Repérer les liaisons | |
|les différents groupes|encastrement puis colorier | |
|cinématiques (ou |d'une même couleur toutes le | |
|sous-ensembles |pièces liées entre elles. | |
|cinématiquement liés |Lister les pièces composant | |
|ou encore classes |chacun des groupes : | |
|d'équivalence). |A = { 1, 3, ...} | |
| |B = { 2,5, ...} | |
| |Pour reconnaître une liaison |[pic] |
|2°) Identifier la |entre 2 groupes : | |
|nature des liaisons |- observer les mobilités | |
|existant entre les |possibles entre ces 2 groupes| |
|groupes pour réaliser |sans tenir compte des | |
|le graphe des |mobilités supprimées par des | |
|liaisons. |liaisons avec d'autres | |
| |groupes. | |
| |- identifier la nature de la | |
| |surface de contact entre les | |
| |2 groupes | |
| | |[pic] |
|3°) Etablir le schéma |Il est inutile de respecter | |
|cinématique du |les dimensions. | |
|mécanisme en utilisant|Par contre il faut absolument| |
|la représentation |respecter la position | |
|normalisée des |relative et l'orientation des| |
|liaisons. |liaisons. | |
| | |Ex : connaissant l'effort |
|4°) Résoudre un |ça c'est pour plus tard ... |de serrage exercé par le |
|problème technique en | |patin « D » sur la pièce à |
|appliquant les lois de| |serrer, on désire connaître|
|la mécanique. | |l'effort exercé par le |
| | |coulisseau « B » sur le |
| | |mors fixe « A ». |


Modélisation des Actions Mécaniques


1 Définition d'une Action Mécanique (A.M.)

Une A.M. est un phénomène physique capable de