1 ES-exercices corrigés Suites arithmétiques et suites géométriques

1 ES-exercices corrig´esInt´erˆets simples et int´erˆets compos´esSuites arithm´etiques et suites g´eom´etriques
Voir le corrig´e
Albert dispose d" un capital initialC0= 3000 euros.
Pour le placement A, le taux annuel est de 6% `a int´erˆets simples. C"est-`a-dire que le capital d"une
ann´ee est ´egal `a celui de l"ann´ee pr´ec´edente augment´e de 6% ducapital initial(les int´erˆets ne sont pas
capitalis´es chaque ann´ee, comme ce serait le cas pour des int´erˆets compos´es).
Pour le placement B, le taux annuel est de 4% `a int´erˆets compos´es. C"est-`a-dire que le capital d"une
ann´ee est ´egal `a celui de l"ann´ee pr´ec´edente augment´e de 4%.
On noteCnle capital d"Albert au bout de n ann´ees avec le placement A etDnle capital d"Albert au
bout de n ann´ees avec le placement B, capital exprim´e en euros.1.Calculer le capital pour chacun des deux placements apr`es une ann´ee puis apr`es deux ann´ees.
2.Quelle est la nature de la suite (Cn)?
Pour tout entier n, exprimer alorsCnen fonction den.3.Quelle est la nature de la suite (Dn)?
Pour tout entier n, exprimer alorsDnen fonction den.4.D´eterminer le nombre d"ann´ees n´ecessaires pour que le capital double avec le placement A.
5.Quel est le placement le plus avantageux au bout de dix ann´ees?
6.En utilisant le tableur de la calculatrice, d´eterminer le nombre d"ann´ees n´ecessaires pour que le
placement B soit plus avantageux que le placement A.1/3
1 ES-exercices corrig´esInt´erˆets simples et int´erˆets compos´esCORRECTION
Voir le texte1.Calculer le capital pour chacun des deux placements apr`es une ann´ee puis apr`es deux ann´ees.
?Solution:
Avec le placement A, le capital augmente chaque ann´ee de
6100
×3000 = 180 euros.
On a donc apr`es une ann´eeC1= 3000 + 180 = 3180 euros
et apr`es deux ann´eesC2= 3180 + 180 = 3360 euros.
Avec le placement B, le capital est multipli´e chaque ann´ee par 1 +
4100
= 1,04.
On a donc apr`es une ann´eeD1= 3000×1,04 = 3120 euros
et apr`es deux ann´eesD2= 3120×1,04 = 3244,8 euros.2.Quelle est la nature de la suite (Cn)??Solution:
Chaque ann´ee, on ajoute 180 euros doncCn+1=Cn+ 180
donc (Cn) est une suite arithm´etique de raisonr= 180 et de premier termeC0= 3000.Pour tout entier n, exprimer alorsCnen fonction den.?Solution:
On a doncCn=C0+nrsoit iciCn= 3000 + 180n3.Quelle est la nature de la suite (Dn)??Solution:
Chaque ann´ee on multiplie le capital par 1,04 donc on aDn+1=Dn×1,04
donc (Dn) est une suite g´eom´etrique de raisonq= 1,04 et de premier termeD0= 3000.Pour tout entier n, exprimer alorsDnen fonction den.?Solution:
On a doncDn=D0×qnsoit iciDn= 3000×1,04n4.D´eterminer le nombre d"ann´ees n´ecessaires pour que le capital double avec le placement A.
?Solution:
Il faut r´esoudreCn≥6000.
C
n≥6000
??3000 + 180n≥6000
??180n≥3000
??n≥3000180
??n≥503
orn?Net503
?16,7 doncn≥17
donc le capital aura doubl´e apr`es 17 ann´ees.2/3
1 ES-exercices corrig´esInt´erˆets simples et int´erˆets compos´es5.Quel est le placement le plus avantageux au bout de dix ann´ees?
?Solution:
Il faut calculerC10etD10.
C
10= 3000 + 10×180 = 4800 euros etD10= 3000×1,0410?4440,73 euros (au centime
pr`es)
donc le placement A est plus avantageux apr`es dix ann´ees.6.En utilisant le tableur de la calculatrice, d´eterminer le nombre d"ann´ees n´ecessaires pour que le
placement B soit plus avantageux que le placement A.?Solution:
Avec la calculatrice, il faut utiliser le menu table puis les fonctionsY1etY2
avecY1= 3000 + 180xetY2= 3000×1,04x.
Ensuite, ne pas oublier de param´etrer le d´ebut et la fin du tableau de valeurs ainsi que le pas
(ici 1) en utilisant RANG.
Pourn= 20 on a alorsC20> D20
et pourn≥21, on aC21< D21.
Le capital du placement B devient sup´erieur au capital du placement A apr`es 21 ann´ees.3/3
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