Modèle mathématique.

2nde 4 - Corrigé du devoir surveillé n°7 - Sujet A

Exercice 1 : Pour chacune des quatre propositions, plusieurs traductions
vectorielles sont possibles :

1) A est le milieu de [BC] d) Les vecteurs );BA) et );AC)) sont
égaux
ou Les
vecteurs );CA) et );AB)) sont égaux
ou l'on a );BA) = );BC)) ou );AC) =
);BC))
ou );CA) = );CB)) ou );AB) = );CB))

2) Les points M, N, P sont alignés a) ou b) les vecteurs );MN) et );NP)
sont colinéaires (par exemple)
... Il suffit de citer deux vecteurs d'extrémités parmi les points M, N P
avec une lettre commune dans les deux vecteurs.

3) Les droites (BN) et (TK) sont parallèles a) ou b) Les vecteurs );BN)
(ou );NB) ) et );TK) (ou );KT)) sont colinéaires

4) EFGH est un parallélogramme c) Les vecteurs );EF) et );HG) sont égaux
( ou );FE) et
);GH) ou );EH) et );FG) ou );HE) et );GF))
Ou l'on a );EF) +
);EH) = );EG) ou );FE) + );FG) = );FH)
Ou );GF) + );GH) = );GE) ou );HE) + );HG)
= );HF)

Exercice 2 :

2) );2NA) + );NB) + 3 );NC) = );0)
2 ();NC) + );CA)) + ();NC) + );CB)) + 3 );NC) = );0) d'après la
relation de Chasles
2 );NC) + 2 );CA) + );NC) + );CB) + 3 );NC) = );0)
6 );NC) + 2 );CA) + );CB) = );0)
6 );NC) = 2 );AC) + );BC)
6 );NC) = 2 );AC) + );BA) + );AC) d'après la relation de Chasles
|6 );NC) = );BA) + 3 );AC) |[pic] |
|6 );CN) = );AB) - 3 );AC) | |
|);CN ) = );AB) - );AC) | |
|);CN) = );AB) - );AC)) | |

3) );NM) = );NC) + );CA) + );AM) d'après la relation de Chasles
);NM) = - );CN) - );AC) + );AB) car on sait que );AM) = );AC) d'après
l'énoncé
);NM) = - );AB) - );AC)) - );AC) + );AB) d'après le résultat de la
question 2)
);NM) = - );AB) + );AC) - );AC) + );AB)
);NM) = );AB) - );AC)) car - + = et - 1 = -

);CN) = );AB) - );AC)) et );NM) = );AB) - );AC)) donc );CN) = );NM)
Ce qui signifie que N est le milieu de [MC] C.Q.F.D.

Exercice 3 :
|1) |x |- 3 - 2 - 0,5 1,5 |
| | |4 5 |
| | |1 - 0,5 |
| |g(x) |1,5 |
| | | |
| | |- 2 - 2,75 |
| | |0,5 |

2) Le minimum absolu de g est - 2,75. Il est atteint pour x = 1,5
3) L'image de - 0,5 par g est g(-0,5) = - 0,5
4) - 2 admet 3 antécédents par g qui sont - 2, 0,9 et 2
5) g(x) ? 0 S = [ - 3 ; - 2,75 ] [ 3 ; 5 ]
6) g(x) ? 1 S = ] 3,5 ; 4,5 [

Exercice 4 : 1) h(x) = existe lorsque 4 - x ? 0 4 ? x
L'ensemble de définition de f est donc ] - ; 4 ]

2) h ( -12 ) = = = 4
L'image de - 12 par h est 4

3) Nous cherchons l'antécédent de 5 par h, c'est-à-dire le nombre x tel
que
h(x) = 5 c'est-à-dire = 5
= 5 ( )2 = 52 4 - x = 25
4 - 25 = x
- 21 = x
Si l'antécédent de 5 existe, il vaut - 21
On vérifie que -21 est bien un antécédent de 5 :
h ( - 21 ) = = = 5

L'antécédent de 5 par h est - 21

Exercice 4 : 1)
|x |- 4,5|- 4 |
| | | 1,25 |
| |g(x) |2,5 2 |
| | | |
| | |- 2,25 - 1 |
| | |1 |

2) Le maximum absolu de g est 2,5. Il est atteint pour x = 3

3) L'image du nombre 4 par g est g(4) = 1

4) - 0,5 admet 3 antécédents par g, qui sont - 2,4 ; 0,25 et 1,25

5) g(x) ? 0 S = [ - 2,25 ; - 0,25 ] [ 1,5 ; 5,5 ]

6) g(x) > 2 S = ] 2,5 ; 3,325 [

Exercice 4 : 1) h(x) = existe si et seulement si 7 - x ? 0 7 ? x
L'ensemble de définition de h est donc ] - ; 7 ]

2) L'image de - 2 par h est h(-2) = = = 3

3) L'antécédent de 4 par h, s'il existe, est un nombre x qui doit vérifier
l'équation h(x) = 4
C'est-à-dire = 4
Si = 4, alors ()2 = 42 donc 7 - x = 16 7 - 16 = x x = - 9
Si 4 admet un antécédent par h, c'est - 9.
Vérifions que -9 est bien un antécédent de 4 par h :
h(-9) = = = = 4

4 admet bien un antécédent par h, et cet antécédent est -9.

Exercice 5 : 1)
x |- 5,5 |- 5 |- 4 |- 3,5 |- 3 |- 2,5 |- 2 |- 1,5 |- 1 |- 0,5 |0 |0,5 |
|f(x) |- 4 |0 |5,6 |7,3 |8,4 |8,9 |9 |8,7 |8 |7,1 |6 |4,8 | |
x |1 |1,5 |2 |2,5 |3 |3,5 |4 |4,5 |5 |5,5 |6 |6,5 | |f(x) |3,6 |2,4 |1,4
|0,6 |0 |- 0,2 |0 |0,7 |2 |3,9 |6,6 |10,1 | |
2)
[pic]

Figure de l'exercice 2 :
[pic]