Ch2 Fonctions Logiques - Algèbre de BOOLE ... - METEOSAT

Ch2 Fonctions Logiques - Algèbre de BOOLE - Systèmes de codage

I) Fonctions logiques et algèbres de BOOLE.

1) Fonctions de base : OUI - NON - ET - OU



: Entrée avec TRIGGER de SCHMITT.



( : Sortie amplifiée (bufferisée).
( : sortie à collecteur ouvert.
( : sortie trois états.












2) Fonction OU Exclusif et fonction Inhibition


S = a ( b = [pic] b + a [pic] ( va et vient).







S = ( a ( b ) ( c





S = ( + b

3) Fonction NOR et NAND

3.1) Théorème de DE MORGAN

Le complément d'une somme est égal
au produit des termes complémentés


Le complément d'un produit est égal
à la somme des termes complémentés

3.2) Fonction NOR

|a |b |a+b |[pic]|
| | | | |
|0 |0 |0 |1 |
|0 |1 |1 |0 |
|1 |0 |1 |0 |
|1 |1 |1 |0 |

Pour réaliser une expression logique à l'aide de
fonctions NOR il faut mettre cette expression sous la forme d'
un produit de somme

Ex : S = . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

Application : X = . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .

Logigramme :









3.2) Fonction NAND


|a |b |a |[pic]|
| | |[pic]| |
| | |b | |
| | | | |
|0 |0 |0 |1 |
|0 |1 |0 |1 |
|1 |0 |0 |1 |
|1 |1 |1 |0 |

Pour réaliser une expression logique à l'aide de
fonctions NAND il faut mettre cette expression sous la forme de
somme de produits

Ex : S = . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .


Application : X = . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .

Logigramme :










4) Rappels des propriétés de l'algèbre de BOOLE
4.1) Somme 4.2 Produit
a + 0 = a Element neutre a . 1 = a

a + 1 = 1 Element absorbant a . 0
= 0
a + a = a Idem potence (redondance) a . a
= a
a + [pic] = 1 Propriété du complément a .
[pic] = 0
a + b = b + a Commutativité a . b =
b . a
a + b + c = a + ( b + c ) Associativité a b c = a ( b
c ) = ( a b ) c
= ( a + b ) + c

4.3) Combinaisons Somme - Produit.
. Distributivité :
- du produit par rapport à la somme :


- de la somme par rapport au produit :

* Propriété d'absorbtion : Lorsqu'une somme logique contient un
terme et un de ses multiples, on peut négliger le multiple. Exemple : x
+ x y = x
a [pic] + a [pic] c d = a [pic]
x + x y + x + x [pic] [pic] = x
a b + a b c + a b [pic] d = a b
x + [pic] + x y + z + x y z = 1
* Règle du multiple du complément.
a + [pic] b = ( a + [pic] ) ( a + b ) = a + b
a + a b + [pic] b c + a b [pic] = a ( 1 + b + b
[pic] ) + [pic]b c = a + b c

4.4) Propriétés de la somme modulo 2.

a [pic] a = 0 [pic] [pic] a
= 1
a [pic] 0 = a a [pic] 1 =
[pic]
Commutativité : a [pic] b = b [pic] a
Associativité : ( a [pic] b) [pic] c = a [pic] (
b [pic] c )
Complément : [pic] ( [pic] = a ( b [pic] =
[pic] ( b = a ( [pic]
5) Simplification des équations et des circuits logiques.

Dés que l'on dispose de l'expression d'un circuit logique, il peut être
possible de la minimiser pour obtenir une équation comptant moins de termes
ou de variables par terme. Cette simplification peut se faire de deux
façons différentes :
- par l'utilisation des théorèmes de l'algèbre de BOOLE;
- par l'utilisation des tableaux de KARNAUGH.
Dans les deux cas, il est indispensable d'exprimer l'équation sous la
forme d'une somme de produits.

Remarque : Le signe de complémentation ne peut pas surmonter plus d'une
variable à la fois.


5.1) Simplification par l'algèbre de BOOLE.

P = ( a + [pic]) ( b + [pic]) ( c + [pic]) Q = ( a + b +
c ) ( a + [pic] + c ) ( a + [pic] + [pic])
R = a b c + a [pic] ([pic] [pic]) S = [pic] c
([pic] b d ) + [pic] b [pic] [pic] + a [pic] c
T = a b c + a b [pic]+ a [pic] c U = ([pic] + b ) ( a + b
+ d ) [pic]
V = ( a + b ) ( a + c ) + ( b + c ) ( b + a ) + ( c + a ) ( c + b )


5.2) Simplification par les tableaux de KARNAUGH.

Rappel : Les tableaux de KARNAUGH permettent la simplification des
équations logiques. Ils com-portent 2n cases, n étant le nombres de
variables d'entrée, organisés selon le code GRAY. ( ex : 4 variables
donnent 16 cases ).
Chaque case correspond à une combinaison possible des variables
d'entrée;
Chaque combinaison exprimée dans l'équation sera représentée par un
« 1 » dans la case cor-respondante.
Il est ensuite possible de regrouper les cases par 2, 4, 8, 2n afin
d'éliminer les variables qui change d'état dans le regroupement : - un
regroupement de 2 cases élimine 1 variable;
- un regroupement de 2x cases élimine x
variables.

Simplifier les équations suivantes :

T1 = x y z + x y [pic] + [pic] y [pic] + [pic] y z
T2 = x [pic] [pic] + x y [pic] + x y z + x y [pic]
T3 = y w + z w + [pic] w + [pic] y [pic] [pic] + x y
[pic]
T4 = x y z + z ( x [pic] + [pic] y )

5.3) Réalisation de logigrammes.

Réaliser les logigrammes, uniquement en portes NAND (à deux entrées)
puis en portes NOR (à deux entrées) correspondant aux équations suivantes :

N = a [pic] + [pic] b + [pic] b + c [pic] M = [pic] b
+ b [pic] + b [pic]
Sortir les équations simplifiées en utilisant les tableaux de KARNAUGH.


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|M = |N = |P = |
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|R = |S = |T = |
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|H = |J = |
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