Le barycentre - 1 S

Le Barycentre
Faire des maths avec GéoPlan Problèmes de lieu, d'alignement et de concours. Sommaire 1. Rappel vecteur
2. Repère
3. Barycentre de deux points
4. Barycentre de trois points
5. Problèmes d'alignement
6. Problèmes de lieux
7. Barycentre de quatre points
8. Problèmes de concours Faire des maths ... avec GéoPlan : http://debart.pagesperso-orange.fr
Document Word : http://www.debart.fr/doc/barycentre_cours.doc
Document PDF : http://www.debart.fr/pdf/barycentre_cours.pdf
Page HTML : http://debart.pagesperso-orange.fr/1s/barycentre.html
Document n° 24, réalisée le 12/11/2002, modifié le 3/4/2008 Tout ce qui est dit en géométrie plane s'applique dans n'importe quel plan
de l'espace. Extrait du programme de géométrie de 1S Barycentre de quelques points pondérés dans le plan et l'espace.
Associativité du barycentre.
On utilisera la notion de barycentre pour établir des alignements de
points, des points de concours de droites.
La notion de barycentre, utile en physique et en statistique, illustre
l'efficacité du calcul vectoriel. On évitera toute technicité. 1. Rappels vecteurs
Parallélogramme : égalité de vecteurs et somme [pic] + [pic] ;
vecteur opposé - [pic] ; différence de deux vecteurs [pic] - [pic];
multiplication par un réel.
Représentation d'une somme de trois vecteurs dans l'espace : règle du
parallélépipède.
Vecteurs colinéaires.
Droite passant par A de direction [pic].
Vecteurs coplanaires.
Milieu : I milieu de [AB] : [pic]+[pic]= [pic].
2. Repère
Droite : (A, [pic])
Plan : (O, [pic], [pic])
Espace : (O, [pic], [pic], [pic])
3. Barycentre de deux points Activités
Balance romaine Définition et formules
Définition :
Soit (A, () et (B, () deux points pondérés tels que ( + ( ( 0,
Il existe un point unique G tel que ([pic]+([pic]= [pic] ;
le point G est appelé barycentre des points pondérés (A, () et (B, ().
[pic]
Pour chercher G, avec la relation de Chasles, remplacer [pic] par
[pic]+[pic], on obtient :
((+()[pic]+([pic]= [pic],
donc [pic].
Cette relation assure que le point G existe et est unique.
Si k ( 0, alors k([pic]+ k([pic] = [pic], ceci montre que le point G est
aussi le barycentre des points pondérés (A, k() et (B, k().
Coordonnées barycentriques d'un point sur une droite Soit A et B deux points distincts d'une droite.
Pour tout point M de la droite, il existe un couple unique (?, ?) de
nombres réels tels que :
. ? + ? = 1;
. M est le barycentre des points pondérés (A, ?) et (B, ?). (?, ?) sont les coordonnées barycentriques de M relativement à A et B. On perd l'unicité du couple de réels (?, ?), en remplaçant la première
condition par :
? + ? ? 0. Position du barycentre
De la colinéarité des vecteurs [pic] et [pic], on peut déduire que les
points A, B et G sont alignés.
Théorème :
Le barycentre de deux points A et B appartient à la droite (AB)
Il est sur le segment [AB] si les coefficients sont de même signe,
au milieu si les coefficients sont égaux.
De A et de B, le point le plus près du barycentre est celui dont le
coefficient a la plus grande valeur absolue.
Si les coefficients sont de même signe on a [pic], donc G appartient au
segment [AB].
([pic] = - ( [pic] d'où[pic] donc si [pic] ; GA est plus petit que GB ; G
est plus près de A. d) Problème réciproque : exprimer un point comme barycentre de deux autres
B milieu [AC] : B isobarycentre de A et de C,
A barycentre de (B, 2) et (C,-1) 2[pic] = [pic],
C barycentre de (A, 1) et (B,-2) 2[pic] = [pic]. B au tiers de [AC] : B barycentre de (A, 2) et (C, 1) 2[pic] = [pic],
A barycentre de (B, 3) et (C,-1) 3[pic] =[pic],
C barycentre de (A, 2) et (B,-3) CA = 3 ; CB = 2 d'où 3[pic] = 2
[pic]. e) Fonction vectorielle de Leibniz : ([pic]+([pic]
Soit (A, () et (B, () deux points pondérés tels que ( + ( ( 0, et G leur
barycentre.
Pour tout point M du plan on a :
([pic]+([pic]=
(([pic]+[pic]) + (([pic]+[pic]) =
((+()[pic]+([pic]+([pic]=
((+()[pic]+ [pic] = ((+()[pic] ((+()[pic]=([pic]+([pic]
[pic] En remplaçant M par G on retrouve la formule du barycentre.
En remplaçant M par A ou par B on reconnaît les formules permettant de
calculer les vecteurs [pic] ou [pic]. Dans un repère (O, [pic], [pic]) , remplacer M par O permet d'obtenir les
coordonnées du barycentre. Cas particuliers
Médianes : si les coefficients ( et ( sont égaux et non nuls
l'isobarycentre I des points (A, () et (B, () est le milieu du segment
[AB]. On choisit souvent ( = ( = 1.
On a alors [pic] + [pic] = [pic]. On obtient pour tout point M la forme
vectorielle du « théorème de la médiane » dans le triangle ABM :
[pic]+[pic] = 2 [pic]. En géométrie analytique ou avec le produit scalaire,
on peut en vérifier les formes numériques :
MA2 + MB2 = 2MI2 + [pic] et MA2 - MB2 = 2[pic] . [pic] ou [pic] = 2 AB×IH
où H est la projection du point M sur la droite (AB). Coefficients opposés : si ( + ( = 0 alors ([pic]+ ([pic]= ( ([pic]-[pic]) =
([pic] est un vecteur constant indépendant du point M. Il n'y a pas de
barycentre. 3. Barycentre de trois points
a) Extension des définitions
Soit (A, () ; (B, () et (C, () trois points pondérés tels que ( + ( + ( (
0,
il existe un point unique G tel que :
([pic]+ ([pic]+ ([pic] = [pic] ; le point G est appelé barycentre des trois points pondérés
(A, () ; (B, () et (C, (). Démonstration : calcul par exemple du vecteur [pic]
([pic]+ ([pic]+ ([pic] = [pic]
([pic] + (([pic] + [pic]) + (([pic] + [pic]) = [pic]
(( + ( + ()[pic] + ( [pic] + ( [pic] = [pic]
(( + ( + ()[pic] = ( [pic] + ( [pic]
[pic] =[pic][pic] +[pic][pic]
Sur la figure :
[pic] = ([pic] ; [pic] = ([pic];
[pic] =[pic]+[pic]= ([pic] + ([pic]
[pic] = [pic][pic]
Coordonnées barycentriques d'un point du plan
Soit A, B et C trois points du plan, tous distincts et non alignés. Théorème de Gergonne :
Pour tout point M du plan, il existe un triplet unique (?, ?, ?) de nombres
réels tels que :
. ? + ? + ? = 1;
. M est le barycentre des points pondérés (A, ?) ; (B, ?) et (C, ?). (?, ?, ?) sont les coordonnées barycentriques de M relativement à A, B et C
On perd l'unicité du triplet de réels (?, ?, ?), en remplaçant la première
condition par
? + ? + ? ? 0. .b) Fonction vectorielle de Leibniz ([pic]+ ([pic]+ ([pic]
Transformation pour calculer le vecteur [pic]
([pic]+ ([pic]+ ([pic] = [pic]
(([pic]+[pic]) + (([pic]+[pic]) + (([pic]+[pic]) = [pic]
([pic] + ([pic] + ( [pic] = (( + ( + () [pic]
[pic] = [pic][pic] + [pic][pic] + [pic][pic].
c) Exemples
1. Centre de gravité d'un triangle Soit G l'isobarycentre des sommets d'un triangle ABC.
En prenant ( = ( = ( = 1 on a :
[pic]+[pic]+[pic] = [pic].
Si A' est le milieu de [BC] on a :
[pic] + [pic] = 2 [pic]
donc [pic]+ 2[pic] = [pic].
G est donc le barycentre de (A, 1) et (A', 2).
G appartient à la médiane [AA'] et est au [pic] de cette médiane.
Exemple 2. Trouver le point G barycentre de (A,2) ; (B,1) et (C,1) : Choisir A comme origine des vecteurs de la fonction vectorielle de Leibniz
4[pic] = [pic] + [pic] = 2 [pic] où I est le milieu de [BC].
[pic]= [pic][pic] : G est le milieu de [AI]. Calcul vectoriel :
2 [pic]+[pic]+[pic] = [pic]
2 [pic] + 2 [pic] = [pic] d) Théorème du barycentre partiel (ou d'associativité)
Théorème :
On ne change pas le barycentre de trois points pondérés en remplaçant deux
d'entre eux par leur barycentre partiel (s'il existe) affecté de la somme
des deux coefficients. Exemple 1 : Construction du barycentre de
(A,-1) ; (B, 2) et (C, 3) ; Construire le barycentre B' de (A,-1) et (C, 3)
et conclure que G est le milieu de [BB']. Exemple 2 : Construction du barycentre de (A, 2) ; (B, -1) et (C, 4) où BC
= 6 cm. Construire les barycentres partiels C' de
(A, 2) ; (B, -1) et A' de (B, -1) ; (C, 4) puis trouver G à l'intersection
des droites (CC') et (AA').
Exemple 3 : pas de barycentre partiel sur la droite (BC) G barycentre de (A, 2) ; (B, 1) et (C, -1). Construire les barycentres partiels B' et C'. Le choix de A comme origine des vecteurs de la fonction vectorielle de
Leibniz permet d'écrire :
2[pic] = [pic] - [pic] = [pic].
Vérifier que (AG) // (BC). Conclusion : Si (+ ( ? 0, A' est le barycentre partiel de (B, () et (C, (), alors G est
le barycentre de (A, () et (A', (+().
Si (+ ( ? 0, B' est le barycentre partiel de (A, () et (C, (), alors G est
le barycentre de (B, () et (B', (+().
Si (+( ? 0, C'est le barycentre partiel de (A, () et (B, (), alors G est le
barycentre de (C, () et (C', (+(). Lorsqu'elles existent les droites (AA'), (BB') et (CC') sont concourantes
en G.
e) Problème réciproque : exprimer un point comme barycentre de trois autres Exercice 1 : ABCD est un parallélogramme
Écrire D comme barycentre de A, B et C :
Méthode 1 : somme vectorielle : [pic] = [pic]+[pic]
on en déduit que [pic]-[pic]+[pic] = [pic]
D est le barycentre de (A, 1) ; (B,-1) et (C, 1). Méthode 2 : associativité : O centre du parallélogramme 2[pic] =[pic] ;
2[pic] - [pic] = [pic]. D est le barycentre de (O,2) et (B,-1) ;
O est l'isobarycentre de (A,1) et (C,1) : 2[pic]=[pic]+[pic]. Exercice 2 : ABCD est un parallélogramme, I est le milieu de [CD]
Écrire I comme barycentre de A, B et C. Solution
I est le barycentre de (A, ?) ; (B, ?) et (C, ?) avec, par exemple, ? = 1,
? = -1, ? = 2.
Méthode 1 : associativité : I est l'isobarycentre de C et D donc
[pic]+[pic] = [pic].
Comme D est le barycentre de (A,1) ; (B,-1) et (C ,1) on a :
[pic]= [pic]-[pic]+[pic], d'où [pic] + ([pic]-[pic]+[pic]) = [pic], soit
[pic]-[pic]+ 2[pic] = [pic].
I est le barycentre de (A,1) ; (B,-1) et (C ,2). Méthode 2 : calcul vectoriel : 2[pic] = [pic] = [pic] + [pic] soit [pic]-
[pi