Exercice 3 - Colegio Francia - Caracas

Exercice 3. (1h 15min)
On considère les suites (un) et (vn) définies sur IN par u0=3 et les
relations :
[pic] et [pic]
1. Calculer vo, u1, v1, u2, v2, u3 et v3.
Donner l'approximation de u3 et v3 lue à l'affichage de la
calculatrice.
2. Justifier par récurrence que pour tout n de IN, un >0 et vn >0.
3. a. Démontrer que quel que soit n de IN, [pic]
b. En déduire que quel que soit n de IN : [pic]
c. Conclure que quel que soit n on a un - vn ( 0.
4. En s'aidant de la question 3.c., prouver que la suite (un) est
décroissante et que la suite (vn) est croissante.
5. a. Démontrer que quel que soit n de IN*, [pic]
b. Utiliser le résultat précédent pour démontrer que [pic]
c. En déduire, à l'aide d'un raisonnement par récurrence que [pic]
d. Déterminer la limite de un - vn à l'infini.
6. Conclure que les suites (un) et (vn) sont adjacentes et déterminer
leur limite commune.
7. Justifier que u3 est une approximation de [pic]à 10-7 près.
Remarque : Cette méthode est celle utilisée par le mathématicien grec Héron
(1er siècle) pour déterminer une approximation des racines carrées.
Correction
1.
[pic] ;
[pic] ; [pic] ;
[pic] ; [pic]
[pic] ; [pic]
Il semble que les suites tendent vers [pic]
2.
Pn : un > 0 et vn > 0. P0 : u0 = 3 > 0 et v0 = 7/3 > 0 Po est vérifiée. Supposons Pn vraie.
[pic] puisque un et vn sont positifs.
et bien sûr il en résulte que [pic]
On a bien, quel que soit n de IN, un >0 et vn >0. 3.a.
[pic]
3.b.
[pic]
3.c.
De l'égalité précédente, on conclut que un+1 - vn+1 est strictement positif
quel que soit n., c'est-à-dire en remplaçant n+1 par n, on a un - vn
positif pour n ( 1. Il faut vérifier que l'inégalité est aussi vraie pour n
= 0. [pic]
Conclusion : Quel que soit n de IN, on a un - vn > 0 ou encore un > vn.
4.
[pic] car vn - un < 0
[pic] car un+1 - un < 0 et un >0 quel que soit n.
Conclusion, la suite (un) est décroissante et que la suite (vn) est
croissante. 5.a.
On sait que un > vn or la suite vn est croissante, donc vn > v1, on a donc
: [pic]
5.b.
Par équivalence : [pic]
On sait que [pic] d'où le résultat.
5.c.
Pn : [pic]
Vérifions P0 :
[pic]
Considérons Pn vraie, démontrons Pn+1 :
On sait que [pic]
5.d.
On a : [pic] et on sait que [pic], donc, d'après le théorème des gendarmes,
[pic]
6. Les suites (un) et (vn) sont adjacentes elles sont donc convergentes
vers la même limite l.
Celle-ci vérifie la relation [pic]
[pic]
Remarque : la rapidité de la convergence est impressionnante, on se trouve
en présence d'une convergence dite quadratique.