BAC maths S 2000 - Inde - Descartes et les Mathématiques

Bac S 2000 - Pondichéry - Inde Exercices : probabilité, complexe, arithmétique - Problème : fonction
logarithme. Annales bac S non corrigées : http://debart.pagesperso-orange.fr/ts
Document Word : http://www.debart.fr/doc/bac_2000/bac_s_inde_2000.doc BACCALAURÉAT GÉNÉRAL - Session Avril 2000
Épreuve : MATHÉMATIQUES
Série : S Durée : 4 heures Coef. : 7 ou 9
OBLIGATOIRE et SPÉCIALITÉ L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter les DEUX exercices et le problème. La qualité de
la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies.
Le formulaire officiel de mathématiques, prévu par l'arrêté du 27 mars
1991, et deux feuilles de papier millimétré sont joints au sujet. Dès que le sujet vous est remis assurez-vous qu'il est complet.
Ce sujet comporte 4 pages numérotées de 1 à 4. EXERCICE 1 (4 points) commun à tous les candidats Un professeur se trouve en possession de 5 clefs de salles. Il se tient
devant une porte et il sait que, parmi ses 5 clefs, 2 n'ouvrent pas la
porte parce qu'elles sont défectueuses mais les autres le peuvent. Il veut
alors les tester toutes, une à une. Le choix des clefs est effectué au
hasard et sans remise. On appelle clef numéro x la clef utilisée au x-ième
essai. 1. On appelle D1 l'événement : « La clef numéro 1 n'ouvre pas la porte ».
Calculer sa probabilité. (0,5 point) 2. On appelle D2 l'événement : « La clef numéro 2 n'ouvre pas la porte ».
Calculer la probabilité que l'événement D2 se réalise, sachant que
l'événement D1 est réalisé.
(0,5 point)
En déduire la probabilité de l'événement D1( D2. (0,5 point)
On pourra, pour la suite de l'exercice, s'aider d'un arbre pondéré. 3. Quelle est la probabilité de l'événement : « Les clefs numéros 1 et 2
ouvrent la porte et la clef numéro 3 ne l'ouvre pas » ? (1 point) 4. Pour 1 ( i ( j ( 5 on note (i ; j) l'événement : « Les clefs qui
n'ouvrent pas la porte sont les clefs numéros i et j », et P (i ; j) la
probabilité de cet événement. a) Calculer P(2 ; 4). (0,75 point) b) Calculer P(4 ; 5). (0,75 point)
EXERCICE 2 (5 points) candidats n'ayant que l'enseignement obligatoire Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct (O ; [pic],
[pic]) ; unité graphique 4 cm. On appelle B le point d'affixe i et M1 le point d'affixe z1 = [pic].
1. Déterminer le module et un argument de z1. 2. Soit M2 le point d'affixe z2, image de M1 par la rotation de centre O et
d'angle [pic].
Déterminer le module et un argument de z2.
Montrer que le point M2 est un point de la droite (D) d'équation y = x. 3. Soit M3 le point d'affixe z3 image de M2 par l'homothétie de centre O
et de rapport [pic].
a. Montrer que z3 = [pic].
b. Montrer que les points M1 et M3 sont situés sur le cercle de centre B
et de rayon [pic]. 4. Construire, à la règle et au compas, les points M1 , M2 et M3 en
utilisant les questions précédentes on précisera les différentes étapes de
la construction. 5. À tout point M du plan d'affixe z (distinct de B), on associe le
point M', d'affixe Z telle que [pic]. Déterminer et construire l'ensemble (E) des points M du plan (M distinct de
B) tels que M' appartienne au cercle de centre O et de rayon 1.
EXERCICE 2 (5 points) arithmétique pour les candidats ayant suivi
l'enseignement de spécialité Dans tout l'exercice, n désigne un entier naturel non nul.
1.a). Pour 1 ( n ( 6, calculer les restes de la division euclidienne de 3n
par 7. (0,5 point)
b) Démontrer que, pour tout n, 3n+6 -3n est divisible par 7.
En déduire que 3n et 3n+6 ont le même reste dans la division par 7. (1
point)
c) À l'aide des résultats précédents, calculer le reste de la division
euclidienne de 31 000 par 7. (0,5 point) d) De manière générale, comment peut-on calculer le reste de la division
euclidienne de 3n par 7, pour n quelconque ? (0,75 point) e) En déduire que, pour tout entier naturel n, 3n est premier avec 7.
(0,75 point)
2. Soit Un = 1 +3 + 32 + ... +3n-1 = [pic], où n est un entier naturel
supérieur ou égal à 2.
a) Montrer que si Un est divisible par 7 alors 3n - 1 est divisible par 7.
(0,5 point) b) Réciproquement, montrer que Si 3n - 1 est divisible par 7 alors Un est
divisible par 7.
En déduire les valeurs de n telles que Un soit divisible par 7. (1
point) PROBLÈME (11 points) commun à tous les candidats
Partie A - Étude de la fonction [pic] Soit la fonction g définie sur ]-3,3[ par : [pic]. 1. étudier la parité de la fonction g. (0,25 point) 2. a) Calculer les limites de g en - 3 et en 3. (0,5 point) b) étudier le sens de variation de g sur ]0, 3[. (0,5 point)
Dresser son tableau de variation sur ]-3, 3[ (0,25 point) 3. Soit (O, [pic], [pic]) un repère orthonormal d'unité graphique 4
centimètres.
Soit (C) la courbe représentative de la fonction g dans ce repère.
a) Déterminer une équation de la tangente (T) à (C) au point d'abscisse 0.
(0,5 point) b) Tracer dans le repère la courbe (C) et sa tangente (T). (0,5 point) 4. étudier le signe de g(x) suivant les valeurs de x. (0,5 point) 5. a) Calculer la dérivée de la fonction [pic]. (0,5 point) b) Calculer l'aire, exprimée en cm2, de la portion de plan délimitée par la
courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 0 et x = 1.
On donnera la valeur exacte de cette aire, puis une valeur approchée au mm2
près. (1,5 point)
Partie B - Étude d'une courbe paramétrée Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O, [pic], [pic]) d'unité
graphique 4 centimètres.
Soit la courbe paramétrée (() définie par :
[pic] pour t([-2 ; 2],
où g désigne la fonction étudiée dans la partie A.
On note M(t) le point de coordonnées (x(t), y(t)).
1. a) Comparer d'une part x(t) et x(-t) et d'autre part y(t)et y(-t).
(0,5 point) b) Par quelle transformation peut-on passer de M(t) à M((t) ? (0,5
point)
En déduire que (() admet un axe de symétrie que l'on précisera. (0,5
point) 2. étudier la fonction [pic] et dresser son tableau de variation sur [0 ;
2].
(0,5 point) 3. En utilisant la partie A, montrer que la fonction [pic]est strictement
croissante sur l'intervalle [0 ; 2]. (0,5 point) 4. Dresser le tableau des variations conjointes des fonctions [pic]et [pic]
sur [0 ; 2]. (0,5 point) 5. Pour quelles valeurs de t l'abscisse de M(t) est-elle nulle ?
Préciser alors les ordonnées des points correspondants de((). (0,25
point) 6. Tracé de (() :
a) Placer, dans le repère (O, [pic], [pic]), les points M(0), M(1),
M([pic]) et M(2) qui correspondent respectivement aux valeurs 0, 1, [pic]et
2 du paramètre t.
(0,5 point) b) Préciser un vecteur directeur des tangentes à (() aux points M(0) et
M(1) et tracer ces tangentes. (1 point) c) Tracer ((). (1 point)