MECANIQUE : TD n°3

THERMODYNAMIQUE : TD n°1 A - APPLICATIONS DU COURS
1°) La loi de Maxwell indique que pour un gaz en équilibre interne
constitué de N molécules identiques, le nombre dN de molécules, dont la
vitesse est égale à v à dv près est donné par:[pic], avec m : masse d'une
molécule, T: température absolue, kB : constante de Boltzmann, A: constante
à déterminer...
a) Déterminer la valeur de A.
b) Calculer la vitesse quadratique u*, en déduire que 1/2mu*²=3/2kBT
c) Calculer la vitesse moyenne vm et la vitesse la plus probable vp
dans le gaz.
Données : - intégrale de Stirling : [pic] qui a pour valeurs: - I2=[pic],
I3=[pic], I4=[pic]...
Rép : a) A=4(N(m/2(kBT)3/2 b) u*=((3kBT/m) c) v=((8/(.kBT/m) et
vp=((2kBT/m) 2°) Les valeurs expérimentales de l'énergie interne massique U (en
kJ/kg) de la vapeur d'eau sont : |[P]/bar( |523 |573 |623 |673 |
|[T]/K( | | | | |
|10 |2711 |2793 |2874 |2956 |
|20 |2683 |2773 |2859 |2944 | a) La vapeur d'eau se comporte-t-elle comme un gaz parfait dans ce
domaine de température
b) Calculer (U/(T.
Rép : a) Non car U=f(T,P) b) (U/(T=1,7kJ.kg-1.K-1 3°) Un ballon de volume constant, contenant de l'hélium, est lancé à
la vitesse v. Déterminer la valeur de v pour que la température du gaz
augmente de 1 degré lorsque la vitesse du ballon s'annule. (On supposera
que l'énergie cinétique totale des molécules se conservent).
Rép : v=((3R(T/M)=79ms-1
4°) a) Rappeler la valeur de la vitesse de libération sur Mercure et
sur Terre sachant que Mmercure=0,055MTerrestre et que
RMercure=0,38.Rterrestre.
b) La température sur Mercure est de l'ordre de 350°C lorsque le
soleil est au zénith. Expliquer pourquoi cette planète est
dépourvue d'atmosphère. On pourra utiliser le cas du gaz CO2,
constituant important des atmosphères de Vénus et de Mars, ainsi
que de l'atmosphère primitive de la Terre.
Rép : a) vlib=((2Gmplanète/Rplanète)=11.km/s pour la terre et 4,3km/s
pour mercure b) u*=400m/s pour la terre et 600m/s pour mercure, par
conséquent la proportion de molécules libérées est plus grande sur mercure
que sur terre ce qui explique l'atmosphère raréfié de cette planète. B - TRAVAUX DIRIGES
I - LE MODELE DU GAZ PARFAIT POUR LE GONFLAGE D'UNE ROUE
Une Chambre à air de volume supposé constant VC=6dm3 contient
initialement de l'air à p0=1bar. On veut porter sa pression à p1=5bar à
l'aide d'une pompe à main, opération se déroulant à température constante
de l'atmosphère (t0=17°C). La pompe est constituée d'un cylindre de volume
V0=125cm3 dans lequel peut coulisser un piston. L'air est prélevé dans
l'atmosphère à P0, et refoulé dans la chambre à air à travers une valve qui
permet de vider la totalité du cylindre. On donne la masse volumique de
l'air (0 dans les conditions (t0=17°C et p0=1bar) : (0=1,3g.dm-3.
1°) Calculer le nombre de coups de pompe nécessaires pour gonfler la
roue jusqu'à p1.
2°) Quelle est la pression dans la roue après k coups de pompe.
3°) Quelle est la masse d'air contenue dans la roue à l'état final en
fonction de (0, VC, p0, p1 ?
Rép : 1°) k1=192 2°) pk=p0(1+kV0/VC) 3°) m1=(0p1VC/p0=39g
II - TEMPERATURE DE MARIOTTE Soit un gaz de Van der Waals d'équation d'état n=1 :[pic].
1°) Montrer que dans le domaine des pressions pas trop élevées :
pVm=RT+p(b-a/RT)
2°) Pour une température dite de Mariotte TM ce gaz se comporte comme
un gaz parfait. Définir TM. 3°) Déduire alors l'allure des isothermes
ta=20°C pour H2 et N2 d'après les valeurs des tables : TM(H2)=112K et
TM(N2)=400K. Comparer avec les résultats expérimentaux usuels en
coordonnées Amagat. Rép : 1°) Il faut négliger le terme ab/VM2 2°) Tm=a/(Rb) 3°)
ce sont des droites de pente b(1-TM/Ta) et d'ordonnée à l'origine RTa.
III - ECART AU GAZ PARFAIT
On se propose d'étudier le diazote gazeux à partie des courbes
expérimentales données ci-après. Ces courbes représentent la fonction
PVm/RT=f(1/Vm) pour différentes valeurs Ti de la température T. Le rapport
PVm/RT est sans dimension et 1/Vm est exprimé en mol.cm-3. Les valeurs des
températures Ti figurent sur les courbes. 1°) Montrer que le comportement de ce gaz n'est pas parfait.
2°) Pourquoi les courbes ont-elles une ordonnée à l'origine commune ?
3°) a) Donner l 'équation de chaque courbe sous la forme PVm/RT=1-
Bi/Vm. Les Bi sont des coefficients dépendant de Ti.
b) En déduire l'équation d'état du diazote dans le domaine de
température étudié sous la forme : PVm=RT[1-b(T)/Vm], où b(T) est
une fonction de T à déterminer.
c) Ecrire cette équation d'état pour une quantité de matière n
quelconque.
d) Donner une interprétation physique de b(T).
4°) Calculer le coefficient ( de ce gaz.
Rép : 1°) PVm/RT(1, ce gaz n'est pas parfait 2°) Car pour 1/Vm(0, tout gaz
a un comportement analogue à celui du gaz parfait
3°) a) Bi(Ti)=250,8cm3/mol pour 80K.... b) En utilisant « Best
régression » de la calculatrice on obtient Bi=1,62/Ti² en m3mol-
1(b(T)=1,6/T²...
c) PV=nRT(1-nb(T)/V) d) le terme nb(T)/V traduit l'écart au GP... 4°)
(=1/T.(1+b(T)/Vm)/(1-b(T)/Vm)(1/T pour b/Vm(( C - EXERCICES SUPPLEMENTAIRES
I - LES COEFFICIENTS THERMOELASTIQUES DU GAZ PARFAIT
1°) Calculer les coefficients thermoélastiques du gaz parfait càd :
[pic], [pic],[pic].
2°) Vérifier que : (=(p(T
3°) A partir des valeurs de ( et (, essayez de retrouvez l'équation
du Gaz parfait PV=nRT. (On effectue le calcul inverse car les données
expérimentales sont les coefficients thermoélastiques).
( : On admettra le résultat mathématiques suivant, si on a : p((p)=V((V)
alors les deux termes sont égaux à une constante par rapport à V et p. Rép : 1°) (=(=1/T et (T=1/p 2°) p((T=( 3°) PV/T=cste=nR II - TABLES THERMODYNAMIQUES ET EQUATIONS D'ETAT Le tableau ci-dessous donne le volume molaire V et l'énergie interne
molaire U de la vapeur d'eau à la température t=500°C pour différentes
valeurs de la pression p. On donne en outre la constante des gaz parfaits
R=8,314J.K-1.mol-1. |[p]/bar |1 |10 |20 |40 |70 |100 |
|[V]/m3.mol|6,43.10-2|6,37.10-|3,17.10-|1,56.10-3|8,68.10-|5,90.10|
|-1 | |3 |3 | |4 |-4 |
|[U]/kJ.mol|56,33 |56,23 |56,08 |55,77 |55,47 |54,78 |
|-1 | | | | | | | 1°) Justifier sans calcul que la vapeur d'eau ne se comporte pas comme un
Gaz parfait. On se propose de vérifier si les équations de Van der Waals
décrivent bien la vapeur d'eau.
[pic] & U=UGP(T)-a/V
2°) ( Calculer les coefficients a en utilisant les énergies
internes des états p=1bar et p=100bar.
( Calculer le coefficient b en utilisant l'équation d'état à p=100bar
3°) Calculer à l'aide des équations de Van der Waals la température et
l'énergie interne à p=40bar. En déduire la validité de ces équations.
4°) On réalise une détente isochore d'une mole de vapeur d'eau de l'état
initial (TI=500°C, pI=100bar) jusqu'à l'état final (Tf=?, pF=70bar)
( En déduire la température et l'énergie interne de l'état final à
l'aide des équations d'état.
5°) Le tableau ci-dessous donne le volume molaire V et l'énergie interne
molaire U de la vapeur d'eau sous p=70bar pour différentes valeurs de la
température T. |[t]/°C |300 |320 |340 |360 |380 |400 |
|[V]/m3.mol-|5,31.10-4 |5,77.10-4 |6,18.10-4 |6,54.10-4 |6,87.10-4 |7,20.10-4 |
|1 | | | | | | |
|[U]/kJ.mol-|47,30 |48,38 |49,92 |50,17 |50,96 |51,73 |
|1 | | | | | | | ( En déduire si les équations de Van der Waals restent valables.
( Calculer en effectuant une interpolation linéaire par morceaux la
température Tf et l'énergie interne Uf. Rép : 1°) U=U(T,V)(ce n'est pas un gaz parfait 2°) a=0,923Jm3mol-2,
b=8,20.10-5m3mol-1 3°) U3=55,7kJ/mol et T3=779K((T/T=0,8%
4°) TF=590K, UF=41,4kJ.mol-1