Quelques introductions possibles à la fonction exponentielle

Quelques introductions possibles à la fonction exponentielle
(en activités ou en cours)


Remarque préliminaire: Même si chacune des activités présentées dans la
suite a un intérêt spécifique, il semble difficilement envisageable de
toutes les traiter.


1. Approche par les suites géométriques


Exercice: Une ville a vu sa population augmenter de 10% chaque année.
Le 31 décembre 1990, elle comptait u0 = 50 000 habitants. On note un le
nombre d'habitants à la date du 31 décembre de l'année 1990+n.
Calculer le nombre d'habitants de cette ville le 31 décembre 1991 et 1992.
Quelle est la nature de la suite (un) ? En déduire l'expression de un en
fonction de n et le nombre d'habitants de cette ville le 31 décembre 2003.
Placer sur un graphique les points de coordonnées (n ;un) pour n entier, 0
( n ( 13. Proposer une méthode pour estimer le nombre d'habitants de cette
ville à la fin du mois de juin de l'année 2003.


Commentaires

Cet exercice d'introduction permet de revenir sur les suites géométriques
vues en première. Il ne présente pas de difficultés particulières (et peut
donc être préparé à la maison par les élèves).

La dernière question montre la nécessité de passer à une modélisation plus
fine (à défaut d'être continue) dans certains cas. Le débat en classe sur
les réponses proposées à cette question ne peut qu'être enrichissant. On
peut également demander une estimation de la population à d'autres dates
mais il ne faut pas oublier que les élèves ne connaissent pas encore la
racine n-ième d'un réel.

Cette approche est également intéressante en TES, pour bien visualiser que
la croissance exponentielle est le pendant continu d'une croissance
géométrique.

Enfin on peut remarquer que un+1-un= 0,1(un et faire le parallèle avec la
formule obtenue de le cas d'une modélisation continue (y' = k y) dans
d'autres activités.


2. Introduction de l'équation différentielle y'=ky.
Présentation du phénomène de la radioactivité (d'après le document
d'accompagnement)


L'expérience suggère que, si l'on considère une population macroscopique de
noyaux radioactifs (c'est-à-dire dont le nombre est de l'ordre du nombre
d'Avogadro, soit 1023 ), le nombre moyen de noyaux qui se désintègrent
pendant un intervalle de temps (t à partir d'un instant t, rapporté au
nombre total de noyaux N(t) présents à l'instant t et au temps
d'observation (t, est une constante ( caractéristique du noyau en question.
On peut donc écrire : (N(t)/N(t)=-((t. ou encore
[pic].
En faisant tendre (t vers 0, on trouve alors N'(t)=-(N(t) ou encore [pic].


Trouver les fonctions N qui satisfont cette condition , c'est résoudre
l'équation différentielle y'=-( y.
On peut pressentir que la donnée de la population N(0)=N0 au départ
détermine parmi les solutions trouvées celle qui décrira l'évolution de N
(l'unicité de la solution peut être démontrée plus tard).
Le problème posé en termes mathématiques est alors le suivant :
Résoudre l'équation différentielle [pic].
C'est à dire chercher les fonctions f dérivables sur R qui vérifient que
pour tout t ( R, f'(t)=-( f(t). Puis parmi celles-ci, celle qui vérifie
f(0)=N0.


Commentaires:

Cette approche, destinée à bien poser le problème, est assez délicate et
doit sans doute être faite par le professeur en classe. Il n'est pas
nécessaire d'en approfondir davantage l'aspect "physique" qui sera abordé
par le professeur de physique.


3. Une approche graphique des fonctions solutions de f'(x)=f(x) .


Préambule: Nous considérons ici l'équation différentielle : y'= y. Une
fonction est une solution de cette équation différentielle, si elle est
dérivable sur R et que pour tout réel x, on a f '(x) = f (x).
On peut remarquer que si f est une solution de l'équation différentielle y'
= y. alors la fonction g définie par g(x)=kf(x) avec k un réel quelconque
est également une solution et il existe alors une infinité de solutions à
cette équation différentielle. L'activité suivante conduit à une
construction des courbes intégrales (ce sont les courbes des fonctions
solutions de l'équation différentielle) et permet de visualiser que la
donnée d'une valeur de la fonction (b=f(a)) détermine cette fonction.

Activité: Supposons que (a ;b) sont les coordonnées d'un point M
appartenant à la courbe représentative C d'une solution de l'équation
différentielle.
1. Commençons tout d'abord par le point M1 de coordonnées (0 ;1).
Déterminer une équation de la tangente en M1.
2. Soient M2 ,M3 et M4 les points de coordonnées respectives(-1 ;2) et
(2 ;1) et (0 ;-1) . Déterminer une équation de la tangente en chacun de
ces points. Une même courbe peut-elle passer par M1 et M4?
3. Démontrer que, dans le cas général l'équation de la tangente T à C en M
est [pic]. Quelle remarque peut-on faire sur le coefficient directeur de
cette tangente ? M et M' étant deux points de même ordonnée que peut-on
dire des tangentes en M et M' ?
4. Dans le plan muni d'un repère orthonormal (unité 3cm), on considère les
points dont les coordonnées (x ;y) vérifient -2 ( x ( 4 , -2 ( y ( 2,
x=k/2 et y=k'/2 avec k et k' entiers. Pour chacun de ces points tracer un
segment de tangente (environ 1 cm).
5. Admettons qu'il existe une unique fonction f solution vérifiant f (0) =
1 et pour tout réel x,
f '(x) = f (x). Construire une ébauche de la courbe représentative de
cette fonction. Quelle valeur approchée de f(1) obtient-on ?


Commentaires:

L'exploitation graphique de la relation y' = y (ou de tout autre équation
différentielle) donne une première vision des solutions et permet de
comprendre qu'il n'y a pas unicité si on ne se donne pas une condition
supplémentaire. Ce travail permet en outre de bien comprendre ce qui se
passe lorsqu'on utilise la méthode d'Euler pour approcher l'exponentielle.
Il est naturellement possible d'alléger le problème en se contentant de
demander les coefficients directeurs des tangentes, mais comme cette
approche se fait en début d'année, le calcul effectif des équations ( 4 cas
particuliers en plus du cas général) constitue une révision de ce point du
programme de première. Par ailleurs, pour ne pas perdre trop de temps dans
la question 4, un élève doit arriver de lui-même à cette conclusion.
Le problème de l'existence de l'exponentielle (problème purement
mathématique) ne se posera sans doute pas pour les élèves.
Il est conseillé de débuter cette activité en classe pour commenter les
objectifs et s'assurer que tous les élèves comprennent bien.


4. Utilisation de la méthode d'Euler


De nombreux phénomènes d'évolution sont modélisés par une fonction
dérivable f dont la dérivée f' est proportionnelle à la fonction f elle-
même (f'=kf). Nous allons observer l'une d'elle par la méthode d'Euler.

Soit f une fonction dérivable sur R vérifiant f(0)=1 et pour tout x :
f'(x)=f(x).
1. Montrer que, pour tout réel a et h (h voisin de 0), l'approximation
affine de f en a, s'écrit :[pic]
2. Appliquer cette formule avec a=0, a=h, a=2h, ... En déduire que, si l'on
part de f (0), la suite des valeurs approchées de f(x) obtenues par la
méthode d'Euler, avec le pas h, est une suite géométrique. Quelle est sa
raison ?
3. Construire point par point sur le même graphique, une représentation
graphique approchée de f en prenant un pas h de 0,5 puis de 0,1.
Prolonger la courbe sur l'intervalle [-1;2] avec la même méthode (pas h
de 0,1).
> A l'aide d'un tableur, on peut représenter cette fonction de manière
encore plus précise et sur un intervalle plus large.

La fonction f, appelée exponentielle, sera étudiée ultérieurement.

4. Valeur approchée de f(1) : on se place sur l'intervalle [0;1] que l'on
subdivise en n intervalles. Le pas h vaut donc ici [pic].
a) Montrer que la valeur approchée de f(1) obtenue par cette méthode est
[pic].
b) Donner la valeur approchée de f(1) correspondant à n =10 000. On
admettra que la suite de terme général [pic]converge et on notera e sa
limite.


Commentaires :

Cette activité peut-être modifiée pour être traitée en salle info si les
moyens le permettent.
Il est également possible de traiter cette activité dans le chapitre
"suites".


5. Introduction à partir de la relation fonctionnelle

Considérons une population dont le nombre dépend du temps et notons ce
nombre, à la date t, f(t).
Dans un certain nombre de cas (voir exercice 1), l'augmentation relative
[pic] entre deux dates t0 et t0+t ne dépend que de la durée t. On a alors
[pic]. En choisissant une unité convenable, on peut considérer que la
taille de la population au départ était égale à 1 ( f(0) = 1).
On obtient alors successivement f(t) = g(t) (en choisissant t0 = 0) pour
tout t , puis [pic] pour tout t et t'. Nous sommes ainsi conduits à étudier
les fonctions qui satisfont cette relation fonctionnelle.


Commentaires:

Le programme laisse le choix de l'introduction de la fonction
exponentielle: Partir de y'=y ou de f(a+b)=f(a)f(b). L'important étant,
bien entendu, d'arriver au même point. Pour ce faire, on peut procéder
comme suit:

Soit f une fonction définie et dérivable sur R vérifiant pour tout t et t'
[pic].
1. Démontrer que si f s'annule en un point alors f est identiquement
nulle.(on suppose dans la suite que ce n'est pas le cas)
2. Démontrer que f(0) = 1 et que pour tout réel x, on a f(x) >0.
3. Posons f '(0) = k. En calculant de deux manières la dérivée de [pic]
démontrer que pour tout réel x on a : [pic].


6. Définition et premières propriétés de la fonction exponentielle


Préambule: Quelque soit le mode d'introduction et les activités choisies,
il convient de clarifier la situation en indiquant clairement ce que l'on
admet. C'est le but de l'activité suivante. Elle est conceptuellement plus
difficile et doit être traitée en classe. Les résultats obtenus sont des
théorèmes du cours, ce qui minimise le temps "perdu" à la traiter.

Activité: L'étude faite dans les question précédentes nous amène à
conjecturer l'existence de solutions