CORRECTION DU CONTRÔLE 2 DU 24/10/2008 EXERCICE 1 A ...

CORRECTION DU CONTRÔLE 2 DU 24/10/2008
EXERCICE 1 A ( - 1 ; 1 ; 2 ) , B ( 2 ; - 1 ; 0 ) , C ( 0 ; 2 ; 4 ) et
D ( 0 ; - 0,5 ; 0 ) dans le repère (O ; , , )..
Soit G le barycentre de (A ; - 1 ), (B ; 1) et (C ; 2 ). On ne demande pas
de construire G.
1) a) Déterminer les coordonnées de G dans le repère (A ; , ).
D'après le cours on a : [pic]);AG) = [pic]);AB) + [pic]);AC) = 0,5
[pic]);AB) + [pic]);AC).
On en déduit que dans le repère (A ; [pic]);AB), [pic]);AC) ) les
coordonnées de G sont ( 0,5 ; 1 ).
b) Déterminer les coordonnées de G dans le repère (O ; , , ). D'après le cours on a : xG = = 1,5 ; yG = = 1
et zG = = 3. Dans le repère (O ; , , ) les coordonnées de G
sont ( 1,5 ; 1 ; 2 ). 2) Déterminer trois réels a, b et c tels que D soit le barycentre de
(A ; a ), (B ; b) et (C ; c).
|D'après le cours on a le système (S) : = 0; = - 0,5; = | |
|0)) | |
|(S) ? ? ? . | |
| |Le système (S) admet |
| |une infinité de |
| |solutions : tous les |
| |triplets (2b ; b ; - |
| |b), où b décrit ?. |
En prenant b = 1 on obtient a = 2 et c = - 1. Le point D est le barycentre
de (A ; 2 ), (B ; 1 ) et (C ; - 1 ). EXERCICE 2 Soient trois points A, B et C à disposer comme ci-contre sur le
quadrillage de la copie.
Soient G le barycentre de (A ; 2m ² ), (B ; 2m ) et (C ; - 12 ), où m est
un réel, et I le milieu de [AB]. 1) a) Déterminer et construire le point E tel que B soit le barycentre de
(A ; 1), (C ; 3) et (E ; - 2).
|Par définition du barycentre on a : 1 ( + 3 - 2 |[pic] |
|= (1) | |
|(1) ? 2 = + 3 ? = 0,5 + 1,5 . | |
|b) Déterminer ( et ? tels que B soit le barycentre | |
|de (A ; (), (C ; ?) et (E ; 7). | |
|B est le barycentre de (A ; 1), (C ; 3) et (E ; - 2)| |
|donc, en multipliant chaque coefficient par - 3,5, | |
|il est également celui de (A ; -3,5), (C ; - 10,5) | |
|et (E ; 7). | |
c) Déterminer trois réels a, b, c tels que E soit le barycentre de
(A ; a ), (B ; b ) et (C ; c).
|D'après la question 1)a) on a : = + |Autre solution : |
|. |(1) ? + + 3 + 3 - 2 = |
|D'après le cours on a : = + . |(1) ? + 2 + 3 = |
|En prenant a = 1 et c = 3 on a 1 + | |
|b + 3 = 2, soit b = - 2. | |
|E est le barycentre de (A ; 1 ), (B ; - | |
|2 ) et (C ; 3). | |
2) Pour quelles valeurs de m le point G n'existe-t-il pas ? Le point G n'existe pas lorsque 2m ² + 2m - 12 = 0. Il reste à résoudre
cette équation du second degré. 3) On prend maintenant m = 1 . Construire G et démontrer que C, G et I
sont alignés. G est le barycentre de (A ;2), (B ;2) et (C ;- 12) donc, d'après le cours,
[pic]);AG) = [pic]);AB) - [pic]);AC) = [pic]);AB) + [pic]);AC) I est le milieu de |AB] donc I est l'isobarycentre de A et B. D'après la propriété d'associativité du barycentre, G est donc le
barycentre de (I ; 2 + 2) et (C ; - 12). On en déduit que les points C, G et I sont alignés.
EXERCICE 3 Soient trois points A, B et C à disposer comme ci-contre sur le
quadrillage de la copie. |On considère les points D, E|[pic]);BD) = 0,5 | |
|et F tels que : |[pic]);DA) ; | |
| |A est le milieu de [EC] ; | |
| |[pic]);BF) = [pic]);CB). | |
1) a) Exprimer D comme le barycentre des points A et B, affectés de
coefficients entiers à déterminer puis construire D.
= 0,5 ? + 0,5 = ? 2 + = . .
Pour construire D on a, d'après le cours : = = . b) Exprimer E comme le barycentre des points A et C, affectés de
coefficients entiers à déterminer. Placer E. A est le milieu de [EC] ? = 2 ? 2 - = . . c) Exprimer F comme le barycentre des points B et C, affectés de
coefficients entiers à déterminer. Placer F.
= ? 3 = + ? 4 - = . 2) Démontrer, en utilisant la propriété d'associativité du barycentre,
que les droites (AF), (BE) et (CD) sont concourantes en un point G,
barycentre des points A, B et C, affectés de coefficients à déterminer. Soit G le barycentre de (A ; 2), (B ; 4) et (C ; - 1). D'après la question 1)a) D est le barycentre de (A ; 2) et (B ; 4).
D'après la propriété d'associativité du barycentre G est le barycentre de
(D ; 2 + 4) et (C ; - 1).
Le point G appartient donc à la droite (CD). D'après la question 1)b) et d'après la propriété d'associativité du
barycentre G est le barycentre de (E ; 2 - 1) et (B ; 4).
Le point G appartient donc à la droite (BE). D'après la question 1)c) et d'après la propriété d'associativité du
barycentre G est le barycentre de (A ; 2) et (F ; 4 - 1).
Le point G appartient donc à la droite (AF). EXERCICE 4 ABC est un triangle rectangle en A tel que AC = 8 et AB = 4.
Soit G le barycentre de (A ; 1), (B ; 2) et (C ; 1).
1) Déterminer et construire en bleu l'ensemble e1 des points M du plan
tels que || + 2 + || = || [pic]);AB) ||.
Par définition de G et d'après la propriété de réduction de sommes
vectorielles : + 2 + = (1 + 2 + 1) [pic]);MG) = 4 [pic]);MG).
|M ( e1 ? || 4 || = || || ? 4 MG =|Pour construire G on a, d'après le |
|4 ? MG = 1. |cours : |
|L'ensemble e1 est le cercle de centre G|= + = + 1/2 |
|et de rayon 1. | |
2) Déterminer et construire en vert l'ensemble e2 des points M du plan
tels que || + 2 + || = || 3 [pic]);MA) + ||. Soit H le barycentre de (A ; 3) et (C ; 1).
M ( e2 ? || 4 || = || (3 + 1) || ? 4 MG = 4 MH ? MG = MH. L'ensemble e2 est la médiatrice du segment [GH].
3) a) Exprimer le vecteur 2 - - en fonction de [pic]);AJ), où J est le
milieu de [BC]. J est le milieu de [BC] donc J est le barycentre de (B ; - 1) et (C ; - 1).
D'après la propriété de réduction de sommes vectorielles : - - = (- 1 - 1)
= - 2 .
On a donc 2 - - = 2 - 2 = 2 ( + ) = 2 = ).
b) Déterminer l'ensemble e3 des points M du plan tels que les vecteurs +
2 + et 2 - - sont colinéaires
D'après ce qui précède : M ( e2 ? 4 et - 2 sont colinéaires ? et
sont colinéaires. L'ensemble e3 est la droite parallèle à (AJ) qui passe par G.
c) Ensemble e4 des points M du plan tels que + 2 + et 2 - - soient
colinéaires et de même sens.
M ( e2 ? 4 et - 2 sont colinéaires et de même sens ? et sont
colinéaires et de même sens L'ensemble e3 est une demi-droite d'origine G parallèle à (AJ).