I ? Séries statistiques à deux variables - Les mathématiques en direct

Statistiques
I - Séries statistiques à deux variables
Activité : Graphique.
Pour les six premiers mois de l'année, une société observe simultanément le
nombre de dé-
placements effectués et le nombre de ventes réalisées, chez ses clients,
par son commercial.
1. Quelles sont les deux variables observées ?
2. On considère les 6 points de coordonnées respectives (x1 ; y1), ...(x6 ;
y6). Placer ces points sur un graphique (axes orthogonaux ; unités : 1 cm
pour 10 déplacements en abscisse et 1 cm pour 4 ventes en ordonnée).
3. a) Calculer la moyenne );x) des 6 nombres x1 ,... x6 et la moyenne );y)
des 6 nombres y1 ,... y6.
b) Placer le point de coordonnées ();x),);y)) sur le graphique. ..............................................................................
...........................................................................
..............................................................................
...........................................................................
..............................................................................
...........................................................................
..............................................................................
...........................................................................
..............................................................................
........................................................................... ..............................................................................
........................................................................... ..............................................................................
...........................................................................
..............................................................................
........................................................................... ..............................................................................
...........................................................................
..............................................................................
........................................................................... ..............................................................................
........................................................................... Sur des individus d'une population, on réalise simultanément N observations
de deux caractères quantitatifs x et y. Généralement, les valeurs observées
sont consignées dans un tableau de données. 1) Séries statistiques
? L'ensemble des N couples (x 1 , y 1 ), ..., (x N , y N) est appelé série
statistique à deux variables x et y (ou série statistique double).
Exemple : Décrire la situation suivante :
..............................................................................
........................................................................... ..............................................................................
........................................................................... ..............................................................................
........................................................................... 2) Nuages de points. Point moyen
?Le plan étant muni d'un repère, nous pouvons associer au couple (x i , y i
) de la série statistique double, le point M i de coordonnées x i et y i .
L'ensemble des points M i ainsi obtenus constitue le nuage de points
représentant la série statistique.
?On appelle point moyen d'un nuage de N points M i (x i ; y i) le point G
de coordonnées : ([pic], [pic] ), où [pic] est la moyenne des xi et [pic]
celle des yi : [pic] = xi et [pic] = xi
Applications :
Le tableau ci-dessous donne les valeurs d'une série statistique à deux
variables x et y.
Représenter le nuage de points de cette série.
Faire les exercices : n°24, 27, 28 p 107 - n°29, 31 p 108
[pic]
II - Ajustement affine
Activité : Des propriétés peu banales.
Le tableau ci-contre donne, sur les 6 derniers mois de l'année dernière, en
milliers d'euros, le budget publicitaire et le chiffre d'affaire d'une
entreprise.
1. Représenter le nuage de points de la série statistique
(xi ; yi). (Axes orthogonaux unités 1 cm pour 2 milliers d'euros en
abscisses et 1 cm pour 20 milliers d'euros en ordonnées ; intersection des
axes placée à l'abscisse 14 et à l'ordonnée 340.) Commenter la forme de ce
nuage.
2. Au jugé, tracer une droite « ajustant au plus près » les 6 points du
nuage.
[pic]
..............................................................................
........................................................................... 1) Droite d'ajustement
Lorsque les points du nuage de la série statistique sont approximativement
alignés, on
peut concevoir une droite « ajustant au plus près » tous les points de ce
nuage. Cela
revient à considérer que la variable y peut s'exprimer de façon approchée
en fonction
de la variable x sous la forme y = a x + b, équation de cette droite
d'ajustement. Ainsi
on estime qu'il existe un lien affine entre x et y.
? La fonction affine f correspondante, définie par f(x) = a x + b, est
l'ajustement affine de la série statistique. 2) Ajustements affines, graphique et par la méthode des moindres carrés
On suppose que les points du nuage de la série statistique sont
approximativement alignés. Il s'agit alors de déterminer une droite
d'ajustement de ce nuage.
? Méthode graphique :
On trace « au jugé » une telle droite. Cette méthode a l'inconvénient de
dépendre de la personne qui réalise le tracé.
? Méthode des moindres carrés :
Elle consiste à déterminer la droite d'ajustement ( telle que la somme l +
l + ... + l des carrés de toutes les longueurs représentées en rouge sur la
figure soit minimale. (les représenter sur la figure ci-avant)
Cette droite, appelée droite de régression de y en x, passe par le point
moyen du nuage.
Les coefficients a et b de son équation y = a x + b sont calculés
directement par la calculatrice ou le tableur.
Applications :
Le tableau ci-dessous donne le nombre d'heures d'absences des élèves d'un
lycée au
cours des 5 derniers mois de l'année scolaire.
1] Représenter le nuage de points de la série.
2] Après avoir indiqué pourquoi il est envisageable, réaliser graphiquement
un ajustement affine de cette série.
3] Déterminer un équation de la droite d'ajustement de y en x par la
méthode des moindres carrés. ..............................................................................
..............................................................................
..............................................................................
..............................................................................
..............................................................................
..............................................................................
..............................................................................
..............................................................................
..............................................................................
..............................................................................
..............................................................................
..............................................................................
..............................................................................
..............................................................................
..............................................................................
..............................................................................
..............................................................................
..............................................................................
..............................................................................
................................................
Faire les exercices : n° 34, 35 p 108 - n°40, 41, 46 p 110 III - Estimations ; prévisions Activité : Constater et prévoir.
Le gestionnaire d'un lycée a relevé chaque semaine, pendant 6 semaines, la
tem-
pérature extérieure moyenne, en °C, et la consommation de fuel de la
chaudière
en L.
Ces données sont illustrées par le graphique ci-contre, sur lequel figure
le tracé de la
droite d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés. On admet
que l'ajus-
tement par cette droite est pertinent pour des températures comprises entre
0 et 10 °C.
1. Estimez graphiquement la consommation de fuel prévisible pour une
semaine dont la
température extérieure moyenne serait 2 °C.
2. Le bulletin météorologique annonce pour la 7ème semaine une hausse de la
température
extérieure moyenne de 1 °C par rapport à la semaine précédente. Quelle
consommation
de fuel peut on prévoir pour cette semaine ? ..............................................................................
...........................................................................
..............................................................................
...........................................................................
..............................................................................
...........................................................................
..............................................................................
...........................................................................
..............................................................................
...........................................................................
..............................................................................
...........................................................................
.............................................................................