EXERCICES DE PROBABILITES

[pic] PROBABILITES Fascicule d'exercices Responsable : Mr LOMBARDOT Eric
Maître de conférences
Niveau : L1
UFR : 06 Gestion
Année universitaire : 2010/11
1er semestre Planning des séances de TD Séance 1 : Dénombrement Semaine du 11 au 15 octobre 2010 Séance 2 : Probabilités simples Semaine du 18 au 22 octobre 2010 Séance 3 : Probabilités conditionnelles Semaine du 25 au 29 octobre 2010 Séance 4 : Variables aléatoires Semaine du 1er au 5 novembre 2010 Séance 5 : Loi binomiale Semaine du 8 au 12 novembre 2010 et interrogation Difficulté des exercices :
* Très simple
** Simple
*** Moyenne
**** Avancée Séance 1 : Dénombrement Semaine du 11 au 15 octobre 2010
Exercice 1.1. Choix d'option(s) * Les étudiants de 1ère année ont le choix entre deux options obligatoires.
840 étudiants sont inscrits à la première option et 620 sont inscrits à la
seconde. Par ailleurs, 60 étudiants plus courageux se sont inscrits aux
deux options. Combien d'étudiants la promotion comporte-t-elle ? Exercice 1.2. Avoir du c?ur * On tire 3 cartes d'un jeu de 32. Combien de mains (combinaisons de 3
cartes) contiennent au moins un c?ur ? Exercice 1.3. A table ! ** n invités s'assoient autour d'une table ronde. Combien y a-t-il de
dispositions possibles, sachant que seules comptent les positions relatives
des invités les uns par rapport aux autres ?
(2 dispositions sont identiques si chaque invité a le même voisin à sa
gauche et le même voisin à sa droite) Exercice 1.4. Range ta chambre ! ** 12 magazines distincts sont placés côté à côte sur une étagère. Quel est le
nombre de dispositions qui placent côte à côte 3 magazines fixés de cette
collection ? Exercice 1.5. Politiquement incorrect ** Une association qui comprend 30 membres, dont 20 hommes et 10 femmes, va
procéder à l'élection de son comité de direction. Il faudra élire un
président, un secrétaire et un trésorier. Les postes ne sont pas
cumulables.
1) Combien de comités différents sont possibles ?
2) Combien de comités différents sont envisageables si :
a) le poste de secrétaire est réservé à une femme (hypothèse : on élit la
secrétaire en premier) ?
b) les postes de président et de trésorier sont réservés à des hommes ?
c) le président et le secrétaire doivent être de sexe différent ?
d) le poste de président est réservé à un homme, le poste de secrétaire à
une femme et Monsieur Gloubi refuse de siéger au comité avec Madame
Boulga ? Exercice 1.6. Histoire de cubes *** On peint en bleu un cube de 5 cm d'arête puis on le découpe en petits cubes
de 1 cm d'arête.
1) Combien des petits cubes ont : 3 faces colorées, 2 faces colorées, 1
face colorée, 0 face colorée ?
2) On dispose ensuite les petits cubes obtenus dans une boîte et on en tire
4 au hasard :
a) Combien y a-t-il de tirages possibles ?
b) Combien de ces tirages amènent 2 cubes exactement avec 3 faces
bleues ?
c) Combien de ces tirages amènent uniquement des cubes ayant au plus 1
face bleue ?
d) Combien de ces tirages amènent 4 cubes ayant, à eux tous, 6 faces
bleues ? Séance 2 : Probabilités simples Semaine du 18 au 22 octobre 2010
Exercice 2.1. 0 faute * Un article à paraître dans un journal contient 5 coquilles. A chaque
relecture par un collègue la probabilité de détection d'une erreur ayant
subsisté est de 3/4. Quelle est la probabilité pn qu'il ne subsiste aucune
faute après n relectures ? (n étant un entier naturel positif) Exercice 2.2. Admissions parallèles
* Une grande école qui recrute en 1ère année des étudiants de prépa recrute
également par admission parallèle en 2ème année. Cette année, parmi les
étudiants de 2ème année, 27% avaient une licence scientifique, 16% une
licence d'économie ou de gestion, 13% une licence de droit, 9% avaient à la
fois une licence scientifique et une licence en économie ou gestion, 6% à
la fois une licence d'économie ou gestion et une licence de droit, 3% à la
fois une licence scientifique et une licence de droit. Aucun n'avait plus
de 2 licences. Si vous sélectionnez au hasard un étudiant de 2ème année de
cette école, quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'un étudiant entré
par voie parallèle ? Exercice 2.3. La jolie baballe ! ** Une boîte contient 15 balles vertes, 10 balles jaunes, et 5 balles rouges. 1) On tire successivement avec remise 3 balles :
a) Quelle est la probabilité que le tirage soit tricolore ?
b) Quelle est la probabilité que le tirage soit unicolore ?
c) Quelle est la probabilité que le tirage soit bicolore ? 2) On tire successivement sans remise 3 balles, répondez à nouveau aux
trois questions a, b, c. 3) On tire simultanément 3 balles, répondez à nouveau aux trois questions
a, b, c. Exercice 2.4. C'est du second degré... *** On jette un dé 3 fois de suite. Les numéros obtenus sont notés dans
l'ordre : a, b et c. Quelle est la probabilité que l'équation ax2 + bx + c
= 0 ait 2 racines réelles distinctes ? Séance 3 : Probabilités conditionnelles Semaine du 25 au 29 octobre 2010
Exercice 3.1. La musique adoucit les m?urs ** Trois usines A, B et C produisent respectivement 45%, 35% et 20% des
lecteurs MP3 vendus sous la marque « Good-vibes ». Au niveau de la
production de chacune de ces usines, des tests ont montré que
respectivement 4%, 3% et 1% des lecteurs MP3 fabriqués sont défectueux.
Vous achetez un lecteur « Good-vibes » qui ne fonctionne pas. Quelle est la
probabilité qu'il provienne de l'usine A ? Exercice 3.2. Question existentielle
*** Cette année, votre premier semestre débute par les probabilités et se
termine par les statistiques. En moyenne, 3 étudiants sur 10 sont doués
pour les probabilités, 7 étudiants sur 20 sont doués pour les statistiques,
et 1 étudiant sur 5 est doué pour les deux disciplines. Si vous avez été
nul en probabilités, quelles sont vos chances d'être doué pour les
statistiques ? Exercice 3.3. Le jeu du faussaire
**** Une boîte rouge contient 4 vrais billets de banque et 6 faux. Une boîte
jaune contient 10 vrais billets et 8 faux. Un jeu consiste à tirer au
hasard, successivement et avec remise, 4 billets, et bien entendu à obtenir
le plus possible de vrais billets. Mais au préalable, il faut lancer deux
dés : si le total des points est inférieur ou égal à 7, vous jouez avec la
boîte rouge et si le résultat est strictement supérieur à 7, vous jouez
avec la boîte jaune. 1) Quelles sont vos chances d'obtenir 2 vrais et 2 faux billets ? 2) Quelles sont vos chances de n'obtenir que des faux billets ? 3) Pas de chance, vous n'avez obtenu que des faux billets... Quelle est la
probabilité que vous ayez joué avec la boîte jaune ?
Séance 4 : Variables aléatoires Semaine du 1er au 5 novembre 2009
Exercice 4.1. Des dés * On vous propose une partie d'un jeu très simple. Vous devez payer ( euros
pour jouer, ensuite, vous lancez 2 dés, et vous gagnez 10 euros fois la
somme des 2 dés. A partir de quelle valeur de ( accepteriez-vous de jouer
(après vous être assuré que les dés n'étaient pas truqués bien sûr) ? Exercice 4.2. Désolé, y'en a plus...
* Vous êtes le responsable du rayon « écrans plats » d'un grand magasin hi-fi
vidéo. Grâce à votre formation poussée en statistiques et probabilités de
la Sorbonne, vous êtes réputé pour votre gestion optimale des stocks, ce
qui vous permet de toucher chaque mois une prime non négligeable. Vous vous
intéressez aujourd'hui à la mise en rayon du téléviseur « TRX-900 » d'une
grande marque. Des estimations fiables de la demande aléatoire journalière
X du produit « TRX-900 » sont à votre disposition :
|Demande |0 |1 |2 |3 |4 |5 |
|Probabili|0,10 |0,15 |0,25 |0,30 |0,15 |0,05 |
|tés | | | | | | |
1) Calculez l'espérance E(X) et la variance V(X) de la demande journalière
X. 2) Si vous avez en stock 2 téléviseurs « TRX-900 » en début de journée,
quels sont les risques de rupture de stock ? 3) Pour être sûr à plus de 90% de pouvoir servir tous les clients, combien
devez-vous avoir au minimum de téléviseurs « TRX-900 » en stock en début de
journée ? Exercice 4.3. Super Loto *** Régulièrement, la Française des Jeux propose un « Super Loto » (une super
cagnotte) qui permet, pour 1,50 euros, de remplir une grille (on coche 7
numéros parmi 49) et espérer gagner des millions. Les montants proposés
dépendent du nombre de participants et du nombre de vainqueurs. Intéressons-
nous à un exemple de tirage qui a réellement eut lieu. Pour mém