Pente et déclivité. - Mathématiques et sciences physiques

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|Pente et déclivité. |
Extrait d'un sujet B.P. (couverture 2002).
Extrait d'un document sur les réseaux d'évacuation.
Extrait d'un document sur les constructions de maisons.
Questions :
Dans les trois exemples précédents, le mot "pente" utilisé désigne-t-il la
même chose ?
Comment parler de la pente à des élèves de couverture, de plomberie ou de
maçonnerie ? I - PENTE.
En géométrie, la pente est définie par la
tangente de la mesure de l'angle formé par deux
droites sécantes.
pente = tan (
En géométrie cartésienne, le coefficient
directeur a d'une droite d'équation y = a.x + b
est : a = [pic]
Il représente donc la variation de l'ordonnée y
lorsque l'abscisse x augmente d'une unité.
Dans un repère orthonormé, le coefficient
directeur se confond avec la valeur de la pente.
Si cet axe Ox est positionné horizontal (à
quand remonte votre dernier axe Ox qui ne soit pas
horizontal ?!), la pente correspond donc au
rapport entre la distance verticale et la distance
horizontale lorsqu'on suit le "déplacement" d'un
point sur la droite. La pente est la plupart du temps, exprimée en pourcentage. Construite entre 1984 et 1988 la grande
pyramide du Louvre est une pyramide de verre et de
métal qui s'élève à 21,65 m sur une base carrée de
35,50 m de côté.
Calcul de OA : [pic]= 25,10 (arrondi au centième) OA = 25,10 m
Pente de l'arête SA : [pic] = [pic] = 0,86 (arrondi au centième) Pente :
0,86 soit 86% Un cône est la surface (surface conique) décrite par une droite d (la
génératrice) passant par un point fixe O (le sommet) et un point C
décrivant une courbe plane fermée (la directrice) tracée dans un plan ne
passant pas par O. Lorsque la directrice est un polygone, alors la surface
est une pyramide.
On donne aussi le nom de cône ou de pyramide au solide délimité par la
surface conique, le sommet O et un plan ne contenant pas O et sécant à
toutes les génératrices. Bien sûr, dans le langage courant on donne le nom
de cône au cône circulaire ou au cône circulaire droit (le fameux cône de
révolution).
II- INCLINAISON.
En réalité le sujet de BP donne pour chaque versant la mesure en
degré de l'angle formé par le versant avec l'horizontale.
C'est l'inclinaison. La relation entre pente et inclinaison est donc : Pente = tan (inclinaison
en degré) Pente BC = Pente CD = tan 45 = 1 soit 100 % (Demander à la classe ce que
représente une pente de 100 % peut être un bon "angle d'attaque" de la
discussion sur la pente) Pente AB = tan 30 = 0,577 (arrondi au millième) soit 57,7 %
1 En ligne droite plane, passager et train subissent leur poids. 2 En courbe, s'ajoute au poids la force centrifuge de valeur F. Le train
doit ralentir (pour ne pas dérailler) et le passager ressent un inconfort. 3 Pour compenser, on incline la voie. Mais l'inclinaison (, dépendant de
la vitesse, ne peut être que de 6° (Limite d'angle permettant le maintien
d'un train à l'arrêt). 4 L'inclinaison manquante ( ' (qui peut aller jusqu'à 8°
supplémentaires) est assurée par le système pendulaire du train, système de
vérins qui permet au train lui-même de se pencher. III- DÉNIVELÉE. En réalité, l'extrait de document sur les réseaux d'évacuation donne
la différence de hauteur rapportée à l'unité de longueur. Cette différence de hauteur (1 à 3 cm) est la dénivelée.
EXEMPLE :
PenteAB = tan ( = [pic] = 0,02 soit 2 % La topométrie est la phase d'un relevé topographique comportant
toutes les mesures d'angles et de distances sur le terrain et les calculs
qui en découlent.
Pour mesurer (entre autre) la dénivelée on utilise des appareils
comme la mire, le niveau optique ou le théodolite. EXEMPLE : Le nivellement trigonométrique, ainsi appelé car il fait appel à
des calculs dans le triangle rectangle. Dénivelée entre les points A et B : HB = hi + [pic] - hm IV- DÉCLIVITÉ.
Lorsqu'on circule sur nos bonnes routes de France, il
n'est pas rare d'y rencontrer des panneaux comme ceux
illustrant ce paragraphe.
Nous avertissent-ils d'une descente dangereuse dont
la pente serait de 10 % ?
Si tel est le cas, cela signifie donc que la route descend de 10
mètres sur une distance horizontale de 100 mètres.
Sans intérêt pour l'automobiliste, concerné
surtout par la distance AB qu'il parcourt.
Distance par ailleurs rarement rectiligne dans la
réalité.
En réalité, les panneaux indiquent le rapport
entre la dénivelée de la route et la distance
parcourue.
C'est la déclivité.
La relation entre déclivité et inclinaison est donc : Déclivité = sin
(inclinaison en degré)
Comme la pente, la déclivité est la plupart du temps, exprimée en
pourcentage.
En dehors du fait que la déclivité est plus facile à calculer dans la
pratique, pourquoi cette confusion avec la pente ? Calculons pente et déclivité en fonction de l'inclinaison (exprimées en %
arrondis au dixième) |Angle (°) |Pente |Déclivité |
|1 |1,7 % |1,7 % |
|2 |3,5 % |3,5 % |
|3 |5,2 % |5,2 % |
|4 |7,0 % |7,0 % |
|5 |8,7 % |8,7 % |
|6 |10,5 % |10,5 % |
|7 |12,3 % |12,2 % |
|8 |14,1 % |13,9 % |
|9 |15,8 % |15,6 % |
|10 |17,6 % |17,4 % | Pour des petites valeurs de l'inclinaison (? 10°) pente et déclivité
sont très peu différentes. Remarque : L'inclinaison d'une route étant rarement constante, c'est en
réalité la pente ou la déclivité moyenne qui sont calculées. Le Conseil Général des Hautes-
Pyrénées a eu la bonne idée de
placer dans les nombreux cols
mythiques des Pyrénées, tous les
kilomètres, et dans les deux
sens, un panneau renseignant les
cyclistes sur l'effort qui les
attend.
? Calculons de combien va s'élever en un kilomètre le cycliste
passant le panneau ci-dessus. Déclivité moyenne : 7,5 %
Distance parcourue : 1 km Dénivelée = Déclivité x distance parcourue = 0,075 x 1000 = 75 Le cycliste s'élève de 75 m ? Calculons la déclivité moyenne de la route lui restant à parcourir pour
atteindre le sommet. Déclivité = [pic] = [pic] ? 0,0885 Déclivité moyenne sur les onze derniers kilomètres : 8,9 % (arrondi au
dixième) ? Le col se termine par une portion de 500 mètres de déclivité moyenne 14 %
soit une élévation de 70 m et une inclinaison moyenne de 8°.
V- Y AVIEZ-VOUS PENSÉ ?
Un promeneur désire se rendre du village de
Loudenvielle au village de Germ (voir carte page
suivante).
Précautionneux, il consulte le guide pris au syndicat
d'initiative afin de déterminer la distance à parcourir.
Assimilant le parcours à une droite, il mesure sur le
plan 6,5 cm, ce qui fait après calcul, une distance
réelle de 1625 m.
Il lit sur le guide :
"Départ de Loudenvielle derrière la poste. Le chemin
monte vers le haut du village et part en travers vers le
sud par une piste quasiment en ligne droite. Attention
la piste monte régulièrement mais continuellement sur
une distance de 1665 m et peut être pénible pour de
jeunes enfants ou des personnes âgées." Il s'interroge alors sur la différence notée : "Pourquoi ces 40 m de
différence ? On me dit pourtant que c'est quasiment droit." Rien de faux dans tout ça. Il suffit de ne pas oublier dans son
raisonnement que la mesure d'une distance sur "un plan topographique" est
toujours une distance horizontale. En effet, le terrain y est représenté
comme sa projection orthogonale sur un plan horizontal. La mesure effectuée sur le plan est donc la
mesure de la projection orthogonale.
6,5 x 250 = 1625
Mais la distance réelle (arrondie par excès
par le guide) est sensiblement égale à 1662 m
(Pythagore)
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Ami ns Versant B Versant A 45