Titre 1 - Exercices corriges

Résumé d'automatique

1 - Transformée de Laplace

On note F(p) la transformée de Laplace d'une fonction f(t) : [pic]

Cette transformation est linéaire : [pic]


1.1 - Propriétés


|Transformée de la dérivée temporelle de |Transformée de la l'intégrale de f(t) |
|f(t) |[pic] |
| | |
|[pic] | |
|Théorème de la valeur initiale |Théorème de la valeur finale |
| | |
|[pic] |[pic] |
| | |
|Transformée d'une fonction retardée | |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |


1.2 -Transformée d'une équation différentielle à coefficients
constants, fonction de transfert

|On considère le système physique suivant |[pic] |


dans lequel e(t) et s(t) sont liés par une équation différentielle linéaire
à coefficients constants sans terme constant :

[pic]

Le système est alors linéaire


Si les conditions initiales suivantes sont nulles : [pic]
La transformée de l'équation différentielle sans terme constant s'exprime
par

[pic]
[pic] Laplace et conditions initiales
nulles
[pic]

On peut alors définir une fonction de transfert

[pic] c'est à dire [pic]

n = ordre du système
[pic]= gain statique du système
F(p) peut se mettre sous la forme [pic], ( = classe du système
(éventuellement (=0) = nombre d'intégrations dans le système)

1.3 - Cas d'une équation avec un terme constant

Exemple :
[pic]
On effectue un changement de variable tel que [pic].
Dans ce cas [pic] et l'équation s'écrit : [pic]
On prend A tel que [pic] c'est-à-dire [pic]
Finalement l'équation différentielle s'écrit sans terme constant :
[pic]

1.4 - Linéarisation autour d'un point de fonctionnement


1.4.1 - Exemple : cuve qui fuit

| |C'est le débit entrant qui engendre la |
|[pic] |hauteur dans la cuve (système causal) : |
| |[pic] |
| |Le débit sortant est lié à la hauteur de |
| |fluide dans la cuve par :[pic] (équation |
| |issue de la mécanique des fluides). |


Equation de conservation de volume :

Variation de volume dans la cuve = débit entrant - débit sortant
Volume : [pic] d'où [pic]
Ou encore
[pic] c'est-à-dire [pic]


Linéarisation autour d'une hauteur [pic] de fluide.

La hauteur de fluide dans la cuve peut s'écrire sous la forme [pic] (ce qui
implique notamment que [pic])
Si [pic], alors [pic] et [pic]. Il vient alors [pic].
On peut également écrire le débit entrant sous la forme [pic]
On cherche donc à établir une équation différentielle entre les petites
variations de débit [pic] autour de [pic] et les petites variations de
hauteur [pic] autour de [pic].
Avec les nouvelles variables, l'équation de système s'écrit
[pic]
Rappel : si [pic] alors [pic]
Donc : [pic]
Soit
[pic]
Finalement, l'équation différentielle du système autour du point ([pic],
[pic]) s'écrit
[pic]

1.4.2 - Méthodologie

|On considère le système suivant non|Etape 1 |
|régi par une équation |Ecrire e(t) et s(t) sous la forme [pic] et [pic]|
|différentielle non linéaire notée | |
|(Eq) |[pic] définissent le point de fonctionnement |
|[pic] |Etape 2 |
| |En supposant que [pic] et [pic] (c'est-à-dire |
| |que [pic]) écrire l'équation (Eq.) pour obtenir |
| |une relation entre [pic] et [pic] |


Etape 3
Ecrire l'équation (Eq) en faisant apparaître [pic], [pic], [pic] et [pic].
Linéariser les termes qui le nécessitent soit en utilisant la formule
générale [pic] soit un utilisant des développements limités connus (exemple
: [pic]).

Etape 4

Eliminer [pic] et [pic] de l'équation obtenue pour obtenir une équation
différentielle linéaire entre [pic] et [pic].

Remarque
Si l'équation (Eq) de départ ne fait pas apparaître e(t) ou s(t) mais
directement une de leurs dérivées (cas d'un système avec une
intégration par exemple), écrire directement [pic] ou [pic] et
continuer la méthode.

2 - Système bouclé

|[pic] |On définit la Fonction de Transfert en |
| |Boucle Ouverte : |
| |[pic] |


[pic]
D'où la Fonction de Transfert en Boucle Fermée
[pic]
D'une manière générale la Fonction de Transfert en Boucle Fermée s'écrit :
[pic]
Si le système est à retour unitaire, c'est-à-dire si R(p)=1 :
[pic]

Expression de l'écart en fonction de l'entrée

|[pic] |[pic] |


Expression de la mesure en fonction de l'entrée

|[pic] |[pic] |


Notamment, pour l'étude des systèmes bouclés, il est toujours possible de
se ramener à un système à retour unitaire :

[pic]

3 - Systèmes du premier ordre

Ce sont les systèmes tels que [pic]
La fonction de transfert s'écrit [pic]
K =Gain statique
( = constante de temps
|Etude temporelle |Etude fréquentielle |
|Réponse à un échelon [pic] c'est-à-dire |[pic] |
|[pic] |Gain |
|[pic] |[pic] |
|Avec les théorèmes sur les limites, il |Gain en décibels |
|vient : |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|Expression de s(t) |Déphasage |
|[pic] |[pic] |
|Temps de réponse [pic] à 5% tel que [pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] ou [pic] |[pic] |
|D'où [pic] |Pulsation de coupure telle que [pic] si |
|Tracé de la réponse indicielle |K>1 : |
|[pic] |[pic] ou [pic] [pic] |
| | |
| |Tracé du diagramme de Bode |
| |[pic] |


4 - Systèmes du second ordre

Ce sont les systèmes tels que [pic]
o [pic], pulsation propre non amortie (en [pic]) (pulsation du système
si z=0). On note quelquefois [pic], pulsation naturelle.
o z ( 0, coefficient d'amortissement du système (sans dimension)
o K > 0, gain statique du système([pic]).
La fonction de transfert s'écrit[pic]

Etude temporelle

Réponse à un échelon [pic] c'est-à-dire [pic]
[pic]
Avec les théorèmes sur les limites, il vient :
[pic]
[pic]
[pic]
Expression de s(t). Elle dépend de z
[pic]
Si z>1 : deux racines [pic] . La réponse est apériodique (sans
dépassement)
et [pic]
C'est-à-dire
[pic]
Avec [pic] et
[pic]
Si z=1 : une racine double [pic]. C'est le régime apériodique le plus
rapide.
et
[pic]


Si z