La géométrie du triangle

La géométrie du triangle I

Droites remarquables dans le triangle : médianes, bissectrices, hauteurs.

Sommaire

I. Droites remarquables dans le triangle

1. Rappel : barycentre de trois points
2. Médianes, centre de gravité d'un triangle
3. Bissectrices
4. Hauteurs
5. Médiatrices
6. Triangle orthique
Axe orthique
Cercle de Taylor


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Document no 26, réalisé le 17/11/2002 - mis à jour le 22/12/2007


I. Droites remarquables dans le triangle

|Droites |Point de concours|Cercle |Triangle |Coefficients |
| | | | |barycentriques |
|Médianes |Centre de gravité|Cercle des neuf |Triangle |(1, 1, 1) |
| | |points |médian | |
|Bissectric|Centre du cercle |Cercle inscrit | |(a, b, c) |
|es |inscrit |Cercles | | |
| | |d'Apollonius | | |
|Hauteurs |Orthocentre |Cercle de Taylor |Triangle |[tan(Â), tan(B), |
| | | |orthique |tan(C)] |
|Médiatrice|Centre du cercle |Cercle circonscrit |Triangle |[sin(2Â), sin(2B),|
|s |circonscrit | |tangentie|sin(2C)] |
| | | |l | |

Extrait du programme de 4e

|Contenu |Compétences exigibles |Commentaires |
|Droites |Construire les |Certaines de ces propriétés de |
|remarquables |bissectrices, les |concours pourront être démontrées ;|
|d'un triangle|hauteurs, les médianes, |ce sera l'occasion de mettre en |
| |les médiatrices d'un |?uvre les connaissances de la |
| |triangle ; |classe ou celles de 5e. |
| |en connaître une |On pourra étudier la position du |
| |définition et savoir |point de concours de la médiane sur|
| |qu'elles sont |chacune d'elles. |
| |concourantes. | |


1. Rappel : barycentre de trois points


Soit (A, () ; (B, () et (C, () trois points pondérés tels que ( + ( + ( (
0,

il existe un point unique G tel que
([pic] + ([pic] + ([pic] = [pic] ;
le point G est appelé barycentre des points pondérés (A, () ; (B, () et (C,
().
On dit que le point G a pour coordonnées barycentriques (, (, (.

Si ( + ( ( 0, ( + ( ( 0 et ( + ( ( 0 le théorème d'associativité permet de
dire :

si A' est le barycentre partiel de (B, () et (C, ()
alors G est le barycentre de (A, () ; (A', ( +() ,

si B' est le barycentre partiel de (A, () et (C, (),
alors G est le barycentre de (B, () et (B', ( + (),

si C' est le barycentre partiel de (A, () et (B, (),
alors G est le barycentre de (C', ( + () et (C, () ;

les droites (AA'), (BB') et (CC') sont concourantes en G.


Coordonnées barycentriques


Soit A, B et C trois points du plan, tous distincts et non alignés.
Théorème de Gergonne (Joseph Gergonne 1771-1859) :
Pour tout point M du plan, il existe un triplet unique (?, ?, ?) de nombres
réels tels que :
. ? + ? + ? = 1;
. M est le barycentre des points pondérés (A, ?) ; (B, ?) et (C, ?).
(?, ?, ?) sont les coordonnées barycentriques de M relativement à A, B et
C.


2. Médianes et centre de gravité d'un triangle

Les médianes sont les droites joignant les sommets d'un triangle aux
milieux des côtés opposés. Les trois médianes d'un triangle sont
concourantes au centre de gravité de ce triangle. Le centre de gravité est
situé aux [pic] de chaque médiane à partir du sommet correspondant.
Voir ci-dessous une démonstration de cette propriété. Si on admet que les
trois médianes sont concourantes il est possible de lire directement la
démonstration page 4 sachant que dans le triangle BCC1, G est sur la droite
des milieux (A'G) parallèle à (BC1).

Hexagone aux côtés opposés deux à deux parallèles

Soit G le point d'intersection des médianes [AA'] et [BB'] d'un triangle
ABC.
[pic]
Placer le point A1 image de B par la translation de vecteur [pic]. [pic]=
[pic]. BGCA1 est un parallélogramme de centre A' milieu de [BC]. Les points
A, G, A' et A1 sont alignés sur la médiane issue de A.
Placer le point B1 image de A par la translation de vecteur [pic].
[pic]=.[pic] AGCB1 est un parallélogramme de centre B' milieu de [AC]. Les
points B, G, B' et B1 sont alignés sur la médiane issue de B.
[pic]= [pic] = [pic]. BA1B1A est un parallélogramme. Les diagonales [BB1]
et [AA1] se coupent en leur milieu G.
Placer le point C1 image de A par la translation de vecteur [pic]. [pic]=
[pic]. AGBC1 est un parallélogramme de centre C' milieu de [AB]. Les points
C, G, C' et C1 sont alignés sur la médiane issue de C.
Dans le parallélogramme BGCA1 on a [pic]= [pic].
D'où [pic]= [pic]. AC1A1C est un parallélogramme. G milieu de la diagonale
AA1 de ce parallélogramme est aussi le milieu CC1. Le point G est donc sur
la médiane (CC').
Les trois médianes sont concourantes en G centre de gravité du triangle.

Somme des vecteurs [pic]+[pic]+[pic]

[pic]
[pic]+[pic] = [pic]= 2[pic] (règle du parallélogramme pour l'addition des
deux vecteurs et C' milieu de la diagonale de AGBC1)
G est le milieu de [CC1] donc [pic]= - [pic]
et on a[pic]+[pic]+[pic]= [pic].
G est l'isobarycentre des sommets d'un triangle ABC.
Donc [pic]+ 2[pic] = [pic] ; G est le barycentre de (C, 1) et (C', 2).
Le point G est situé aux [pic], à partir de C, de la médiane [CC'].
En 1S, la fonction vectorielle de Leibniz permet d'écrire pour tout point M
:
[pic]+[pic]+[pic] = 3[pic].

Parallélogramme de centre G

Classe de quatrième
[pic]
Soit G le point d'intersection des médianes [BB'] et [CC'] d'un triangle
ABC.
I est le milieu de [BG] et J est le milieu de [CG].
Montrer que IJB'C' est un parallélogramme.
En déduire que G est situé aux [pic] des médianes [BB'] et [CC'].
De même, en étudiant le parallélogramme IA'B'K où K est le milieu de [AG],
on montre que les médianes [AA'] et [BB'] sont concourantes en un point
situé à leurs [pic]. Ce point situé aux [pic] de [BB'], est donc le point
G. Les trois médianes sont concourantes en ce même point G, centre de
gravité du triangle.

Partage en trois de la diagonale d'un parallélogramme

Classe de quatrième

[pic]

Tracer le point D symétrique de A par rapport à A' et étudier le partage de
la diagonale [AD] du parallélogramme ABCD en trois segments égaux.
Démonstration : G et J partagent [AD] en trois parties égales, A' est le
milieu de [GJ] donc G est aux [pic] de la médiane [AA'].
Voir : figure d'Euclide dans parallélogramme au collège
Triangle médian
Le triangle A'B'C', dont les sommets sont les pieds des médianes, est le
triangle médian du triangle ABC.
Le triangle médian est l'homothétique du triangle ABC par l'homothétie de
centre G et de rapport [pic].
Les segments [A'B'], [B'C'] et [C'A'] partagent le triangle ABC en quatre
triangles d'aires égales.

Aire et médiane

Une médiane partage un triangle en deux triangles d'aires égales.
Les droites des milieux partagent un triangle en quatre triangles
homothétiques d'aires égales.
Les trois médianes d'un triangle partagent celui-ci en six petits triangles
d'aires égales.
Les trois triangles GAB, GBC et GAC sont d'aires égales.

Théorèmes de la médiane - Théorème d'Apollonius

Médiane [AA'] :
Grâce au calcul : [pic] + [pic] = ([pic] + [pic]) + ([pic] + [pic]) = 2
[pic],
avec [pic] + [pic] = [pic],
on obtient la forme vectorielle du "théorème de la médiane" dans le
triangle ABC :
[pic] + [pic] = 2[pic].

En géométrie analytique ou avec le produit scalaire on peut en vérifier les
formes numériques :
AB2 + AC2 = 2AA'2 + [pic] (formule d'Apollonius de Perge - 2e théorème de
la médiane).
Avec le produit scalaire : AB2 - AC2 = 2[pic].[pic],
et AB2 - AC2 = 2 [pic].[pic] où le point H est le pied de la hauteur issue
du point A.
D'où [pic]= 2 BC × A'H (troisième théorème de la médiane) ;
En effet : AB2 - AC2 = ([pic] + [pic]).([pic] - [pic]) = 2 [pic].([pic]+
[pic]) = 2 [pic].[pic].
La projection de [pic] sur [pic] est [pic], d'où [pic].[pic] = [pic].[pic]
= [pic].[pic].

Théorème des trois médianes
a) Démontrer que dans tout triangle, la somme des carrés des médianes est
les trois quarts de la somme des carrés des côtés.
b) Que devient cette propriété si on l'applique à un triangle équilatéral ?
c) Et si on l'applique à un triangle rectangle ?
Pieds des médianes :
D'un triangle ABC, seuls ont survécu I milieu de [AB], J milieu de [BC] et
K milieu de [CA].
Reconstituez le triangle ABC.


3. Bissectrices

[pic]
Figure 5
La bissectrice d'un angle est la droite qui le partage en deux angles de
même mesure.
Théorème de la bissectrice
Une bissectrice intérieure de l'angle d'un triangle partage le côté opposé
en deux segments de longueurs proportionnelles à celles des côtés
adjacents.
Les trois bissectrices (intérieures) d'un triangle ABC sont concourantes en
un même point I, centre du cercle inscrit dans le triangle (tangent
intérieurement aux trois côtés du triangle).
Le cercle inscrit est le plus grand cercle que peut contenir ce triangle.
Son centre, le point I, est le barycentre de (A, a) ; (B, b) ; (C, c) avec
a = BC, b = AC et