La preuve par 9

La preuve par 9

Explication
Habituellement elle est présentée pour la multiplication et la division,
mais elle peut être également utilisée pour l'addition et la soustraction.
Elle repose sur le principe suivant : on refait l'opération désirée en
remplaçant chacun des nombres par son reste dans la division par 9. Ce
reste sera un nombre de 0 à 8.
On sait que ce reste est le même que celui de la somme des chiffres du
nombre. Chaque fois qu'il y a un 9, on peut le remplacer par 0.
On recommence le procédé jusqu'à ce qu'on obtienne un nombre plus petit que
9.
Ainsi pour le nombre 7 854 672 on obtiendra d'abord 7 + 8 + 5 + 4 + 6 + 7 +
2 soit 39 qui va donner 3.
3 est le reste de 7 854 672 dans la division par 9. Vous pouvez le
vérifier.
Si on le désire on peut remplacer chaque somme partielle comme 7 + 8 = 15
par 1 + 5 = 6 et ainsi de suite...
La preuve par 9 de l'addition

|Exemple: |Dans la croix de la preuve : |
|538 |En haut, on place le reste de 538 soit celui de 5 + 3 + 8 soit |
|+ 347 |celui de 16 donc 1 + 6 = 7. |
|885 |En bas, on place le reste de 347 soit celui de 3 + 4 + 7 soit celui|
| |de 14 donc 1+ 4 = 5. |
| |A droite, on place le reste de 7 + 5 (haut + bas) soit celui de 12 |
| |donc 3. |
| |A gauche, on place le reste de 885 soit celui de 8 + 8 + 5 soit |
| |celui de 21 soit 2 + 1 = 3 |

La preuve par 9 de la soustraction

|Exemple: |Dans la croix de la preuve : |
|89 |En haut, on place le reste de 89 soit celui de 8 + 9 soit celui|
|- 48 |de 17 donc 8. |
|41 |En bas, on place le reste de 48 soit celui de 4 + 8 soit celui |
| |de 12 donc 3. |
| |A droite, on place le reste de 8 - 3 (haut - bas) = 5. |
| |Si on ne peut pas faire la soustraction, on ajoute 9 autant de |
| |fois qu'il le faut au premier nombre, jusqu'à ce que la |
| |soustraction soit possible. |
| |A gauche, on place le reste de 41 soit celui de 4 + 1 donc 5. |

La preuve par 9 de la multiplication

|Exemple:|Dans la croix de la preuve : |
| |En haut, on place le reste de 348 soit celui de 3 + 4 + 8 soit celui |
|348 |de 15 donc 6. |
|x 7 |En bas, on place le reste de 7 soit 7. |
|2 436 |A droite, on place le reste de 6 x 7 (haut x bas) = 42 soit 4 + 2 = |
| |6. |
| |A gauche, on place le reste de 2 436 soit celui de 2 + 4 + 3 + 6 soit|
| |celui de 6 + ( 3 + 6) = 6 |

La preuve par 9 de la division

|Exemple:|Dans la croix de la preuve : |
| |En haut, on place le reste de 24 soit celui de 2 + 4 soit 6. |
|563 |En bas, on place le reste de 23 soit celui de 2 + 3 donc 5. |
|24 |A droite, on place le reste de 6 x 5 + 11 (diviseur x quotient) + |
|83 |reste, soit celui de 41 donc 5. |
|23 |A gauche, on place le reste de 563 soit celui de 5 + 6 + 3 soit celui|
|11 |de 14 donc 5. |