J1-Exercices-corr.doc - Math93

Journée 1 : Opérations à courts termes - Correction des exercices Exercice 1 :
Soit un effet d'une valeur nominale de 30 000 venant à échéance le 1er
juin. Il est escompté le 1er mars (date de valeur) au taux de 8%.
1°) Calculez le montant de l'intérêt payé sur cette opération, sachant
que ce calcul s'effectue en nombre de jours exacts sur la base 360. On
suppose qu'il n'y a pas de jours de banque.
2°) Quel aurait été ce même montant en adoptant un calcul en nombre de
jours
« en mois » / 360 ou en nombre de jours exacts / 365 ?
3°) Calculez l'écart en pourcentage.
Correction :
1°) Nombre de jours exact : j = 92 car
Donc I = 30 000 0,08 soit (à 0,01 près)
2°)
V Dans le 1er cas j = 330=90 donc I = 30 000 0,08
Soit un écart de ? environ par rapport au calcul du 1°).
V Dans le 2ème r cas j = 92 donc I = 30 000 0,08 (à
0,01 près)
Soit un écart de environ par rapport au calcul du 1°). Exercice 2
La société MIXE remet à 30 jours de l'échéance un effet à l'escompte d'une
valeur de 55 000.
Le taux d'escompte est de 8% (intérêts précomptés, base 360)
1°) Calculez le montant des intérêts (on suppose qu'il n'y a pas de
jours de banque).
2°) Quel serait le taux de l'opération équivalente si les intérêts
étaient post-comptés ?
Correction :
1°) Les intérêts précomptés sont I = 55 000 0,08 soit à 0,01
près
2°) Si les intérêts sont post-comptés, la société MIXE percevra lors
de la remise à l'escompte
55 000 - 366,67 = 54 633,33
Le taux postcompté est donc Tpost tel que : I = 366,67 =
54 633,33 Tpost
On trouve .
. Exercice 3
Soit une suite de 5 versements annuels à terme échu :
? le premier de 50 000 le 01.01.n+1
? le second de 10 000,
? les troisième et quatrième de 5 000
? le dernier de 15 000.
Déterminer la valeur actualisée au taux de 3% annuel au 01.01.n. (Rép. :
79 926,92), puis cette même valeur si les flux sont début de période (Rép :
82 324,73).
Correction :
1°) Va = 50 000 1,03 - 1 + 10 000 1,03 - 2 + 5 000 1,03 - 3 +5 000
1,03 - 4 + 15 000 1,03 - 5
2°) Va = 50 000 + 10 000 1,03 - 1 + 5 000 1,03 - 2 +5 000 1,03 - 3
+ 15 000 1,03 - 4
. Exercice 4 : Comparaison Escompte/Découvert
Une entreprise à besoin d'emprunter 1 000 du 01.04 au 30.04 et 1 200 du
1.05 eu 31.05. pour couvrir ce besoin, elle peut soit mobiliser un effet de
1 500 de 61 jours qu'elle détient, soit recourir au découvert.
Les conditions de d'escompte sont les suivantes :
V Taux d'escompte 9,80%,
V Commission de manipulation 2 unités monétaires par effet
V Commission diverse 1 jour de banque
Les conditions de découvert sont :
V Taux nominal annuel 10,50%,
V Commission sur plus fort découvert 0,050% calculée mensuellement. Que choisir ? Correction :
1°) Si l'on choisi d'escompter l'effet :
Il y a 30+31+1 = 62 jours, donc 0,098 ? 25,32 ;Commission de
manipulation = 2 unités))
Montant des agios d'escompte :
2°) Si l'on choisi le découvert :
On considère que cette somme constitue le solde moyen du compte durant
la période et le plus fort découvert.
. NT = 1 000 30 + 1 200 31 = 67 200
. Intérêts du découvert = NT i = 67 200 0,1025 = 19,13
. Commission du plus fort découvert = (1 000 + 1 200) 0,05/100 =
1,10
En plus, l'entreprise remettra l'effet à l'encaissement. De ce fait la
banque lui facturera 2 au titre de la commission de manipulation de
l'effet. Le montant total des agios de découvert sera donc de :
3°) Il faut donc choisir le second financement.
. Exercice 5 : Taux
Calculer les taux proportionnels annuels et actuariels correspondant à un
taux de 1% mensuel, 3% trimestriel, 6% semestriel et 12 % annuel.. Correction : |Taux périodique |Taux proportionnel |Taux actuariel |
| |annuel | |
|1% mensuel |1 12 = 12% |Ta = (1 + 0,01)12 - 1 ? |
| | |12,68 % |
|3% trimestriel |3 4 = 12% |Ta = (1 + 0,03)4 - 1 ? |
| | |12,55 % |
|6% semestriel |6 2 = 12% |Ta = (1 + 0,06)2 - 1 ? |
| | |12,36 % |
|12% annuel |1 12 = 12% |Ta = (1 + 0,12)1 - 1 = |
| | |12,00 % |
. Exercice 6 : Taux
Quel est le taux périodique trimestriel équivalent au taux annuel de 12 % ? Correction :
(1 + Ttrimestre)4 = C0 (1 + Tannuel)1) : donc Ttrimestre = 1,121/4 -
1 ? 0,02874 =
. Exercice 6 : Valeur future et diagramme des flux
Soit un capital de 500 000 placé au taux annuel actuariel de 5%. Quelle est
la valeur future de ce capital dans 5 ans ? On présente ici le diagramme
des flux. [pic]
. La première flèche se situe au temps t0 et correspond au versement
par l'investisseur de la somme de 500 000 au titre du placement
(flux négatif car il s'agit d'un décaissement). Elle représente la
valeur actuelle.
. Les traits verticaux correspondent aux différentes périodes de
capitalisation (il y en a 5).
. La seconde flèche est dirigée vers le haut (sens positif) car il
s'agit pour l'investisseur d'un encaissement. C'est la valeur
future (au terme des 5 années)
Correction : Vf = 500 000 1,055 ? 638 140,78
. Exercice 7 : Valeur future
Soit un contrat de placement de 1 000/ mois durant 3 ans au taux actuariel
annuel de 5%.
. Signature du contrat le 01.01.n
. Premier versement le 01.02.n
. Fin du contrat et dernier versement le 01.01.n+3
Quelle est la valeur future de ce placement ? Présenter le diagramme des
flux. Correction : [pic]
Il s'agit de versements à termes échus.
Donc Cu = 1 000 + 1 000 (1 + Tm) + 1 000 (1 + Tm)2 + .... + 1 000
(1 + Tm)35
(1 + Tm)35 au premier versement 01.02.n ; Tm est le taux mensuel
équivalent (à calculer)))
Soit après factorisation
Cu = 1 000
Cu = 1 000 (somme des termes d'une suite géométrique de raison
1+Tm )
Il faut calculer Tm :
On a : (1 + Tm)12 = (1 + Ta)1 soit
Donc . Exercice 8 : Valeur future
On reprend l'exercice précédent (exercice 7 ) avec cette fois.
. Début du contrat le 01.01.n
. Premier versement le 01.01.n
. Dernier versement le 01.12.n+2
. Fin du contrat et dernier versement le 01.01.n+3
Quelle est la valeur future de ce placement ? Présenter le diagramme des
flux.
Correction : [pic]
Il s'agit de versements à termes à échoir.
Donc C'u = 1 000 (1 + Tm) + 1 000 (1 + Tm)2 + .... + 1 000 (1 +
Tm)36
(1 + Tm)36 au premier versement 01.01.n ; Tm est le taux mensuel
équivalent (à calculer)))
Soit après factorisation
C'u = 1 000 = Cu (1 + Tm)
C'u = 1 000 (1 + Tm)
(Somme des termes d'une suite géométrique de raison 1+Tm )
Donc