1ère S Géométrie dans l'espace - Canalblog

1ère S3 Corrigé des exercices du cours
Géométrie dans l'espace.
Vecteurs de l'espace
2 Exercices 1. Droites et plans de l'espace Exercice 1
4.Exprimer en fonction de [pic], [pic] et [pic] un couple de
vecteurs directeurs
de chacun des plans suivants : [pic]admet pour vecteurs directeurs [pic],[pic]et[pic]( on pourrait
écrire : [pic])
[pic] admet pour vecteurs directeurs [pic],[pic] et[pic]
[pic] admet pour vecteurs directeurs [pic],[pic] et[pic]
[pic] admet pour vecteurs directeurs [pic],[pic] et[pic] 2. Vecteurs coplanaires Exercice 2 On considère le cube ABCDEFGH.
a. Les vecteurs [pic], [pic] et [pic] sont-ils coplanaires ?
A est le point d'intersection entre les droites (AE) et (AG), alors ces
deux droites définissent le plan ( AEG) : la réponse est donc oui. b. Même question avec les vecteurs [pic], [pic] et [pic]. D'après les propriétés du cube , on peut écrire : [pic]
Et donc, les vecteurs [pic], [pic] et [pic]sont coplanaires. c. Montrer que les vecteurs [pic], [pic] et [pic] ne sont pas
coplanaires. Les vecteurs [pic], [pic] déterminent le plan ( AEH) car [pic]=[pic].
Or le point F appartient au plan (BCF), qui est parallèle à ( AEH).
Conclusion : les vecteurs [pic], [pic] et [pic] ne sont pas coplanaires.
Exercice 3 : Parallélisme d'une droite et d'un plan
ABCD est un tétraèdre. I est le milieu de [AD], J celui de [BC] .
E est le point défini par [pic], et M est le point défini par [pic]. 1. a. Faire une figure et placer les points E et M.
Pour construire le point E, on utilise la règle du parallélogramme : [pic].
Pour construire le point M : [pic] b. Démontrer que la droite [pic]est parallèle au plan[pic].
On utilise la propriété.
On sait depuis le 1°) que [pic]
Les vecteurs [pic] sont colinéaires, donc : la droite [pic]est
parallèle au plan[pic]. 2. a. On considère les vecteurs [pic], [pic] et [pic].
Calculer [pic]. En déduire que les vecteurs [pic], [pic] et [pic] sont
coplanaires. [pic]. Donc : [pic].
Ce que l'on peut écrire, par exemple : [pic], c'est-à-dire que les vecteurs
[pic], [pic] et [pic] sont coplanaires. b. Justifier que la droite [pic] est parallèle au plan [pic].
En fait, on parle du plan[pic]. Or la droite (BC) peut être définie ainsi :
[pic].
Or, les vecteurs [pic], [pic] et [pic] sont coplanaires.
Alors, la droite [pic] est parallèle au plan [pic]
3. a. G est le centre de gravité du triangle ABC. Exprimer les vecteurs
[pic]et [pic]
en fonction des vecteurs [pic]et [pic]. On utilise la règle du parallélogramme : [pic].
Pour [pic],il faut partir de la définition du centre de gravité : [pic] [pic].Il faut faire intervenir [pic]. Si on regarde bien : [pic]( règle d
u...) Ainsi : [pic]
b. Que peut-on en déduire pour les points E, G et I ? D'après le résultat précédent, ces trois points sont alignés. c. Placer le point G sur la figure. [pic]
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[pic] [pic]