Beaux exercices de maths.doc

Préface :
Alors que j'enseignais des propriétés à mes élèves du collège, je me suis
rendu compte que je ne savais pas ou plus les redémontrer. Mes
interrogations étaient nombreuses; d'où vient la formule du périmètre d'un
cercle, du volume de la sphère, pourquoi les droites remarquables dans un
triangle sont concourantes, comment démontre-t-on que les nombres [pic] et
[pic] sont irrationnels, que l'ensemble des nombres premiers est infini.
La préparation à l'agrégation interne m'a permis de retrouver tout ceci et
bien d'autres choses que je n'avais jamais vu. J'ai d'ailleurs rencontré
des exercices étonnants et voulu vous les faire partager. J'en ai aussi
profité pour répondre à de nombreuses questions que je m'étais posé
lorsque j'étais étudiant. Ce livre pourra aussi intéresser les candidats
de l'agrégation interne pour les écrits par des parties de sujet corrigées
par thèmes et pour les oraux par un bon nombre d'exercices rédigées.

Montrer que 0.999 9... = 1.

Posons a = 0,999 9...
10a = 9,999...
10a - a = 9
9a = 9 donc a = 1.
Utilisons cette méthode pour trouver une écriture fractionnaire de
n'importe quel nombre décimal périodique.

Trouver une écriture fractionnaire de 12, 538 538 ...
a = 12, 538 538 ...
103a = 12 538, 538 ... on multiplie par 10n
où n est la période du nombre.
[pic] 1000a - a = 12 538 - 12
999a = 12 526 donc a = [pic]
Démontrer que la longueur d'un cercle de rayon R est P =[pic] .
La longueur algébrique d'une courbe définie par ses coordonnées
paramétriques entre deux instants a et b est donnée par la formule :
[pic].
Pour un cercle de rayon [pic], on a pour coordonnées paramétriques, les
coordonnées cylindriques
[pic] [pic] avec [pic]
[pic]
[pic]

[pic] [pic]
0
[pic]
[pic]
[pic]


[pic]

Démontrer que l'aire d'un disque de rayon R est [pic].
L'aire d'une surface S est donnée par : [pic].
Pour le disque, S = {[pic] [pic] tel que [pic]}
= { [pic]avec [pic] [pic]}
[pic]
Puisque l'on intègre sur un rectangle compact, on transforme l'intégrale
double en deux intégrales simples par Fubini puis on applique le théorème
de changement de variables :
[pic] où [pic] est le déterminant de la matrice Jacobienne [pic] issue
du changement de variable en coordonnées polaires ; on a alors [pic].
[pic]
[pic]
[pic] donc [pic].
Remarque : on peut aussi obtenir ce résultat en calculant l'aire du demi
disque par l'intégrale de la fonction [pic]sur l'intervalle [pic].
Démontrer que l'aire d'une sphère de rayon [pic]est [pic].
Pour calculer une aire dans un espace de dimension 3, on utilise la
formule :
[pic] où [pic] une nappe paramétrée et D un compact de [pic].
Pour la sphère, on a [pic] constant et [pic]
[pic] et [pic] donc [pic] et en passant à la norme

[pic]

[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] puisque [pic] est positif sur [pic].
[pic]
[pic] et en utilisant le théorème de Fubini puisque l'on intègre sur un
compact
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] ce qui donne bien [pic]
Démontrer que le volume d'une sphère de rayon R est [pic].
En utilisant la formule [pic] appliquée à D = {[pic] [pic] tel que
[pic]} que l'on écrit D = { [pic]avec [pic] [pic]} grâce aux coordonnées
sphériques.
[pic].
Puisque l'on intègre sur un pavé compact, on transforme l'intégrale
triple en trois intégrales simples par Fubini puis on applique le théorème
de changement de variables :

[pic] où [pic] est le déterminant de la matrice Jacobienne [pic] on a
alors [pic].
[pic] puisque la fonction sinus est positive sur [pic].
[pic]
[pic]
[pic] donc [pic] .


Montrer que[pic] est irrationnel.

Supposons le contraire et aboutissons à une contradiction :
Si [pic][pic] [pic]* tel que [pic]= [pic] avec [pic]
2 = [pic] donc [pic]
(1) et puisque 2 /[pic]alors 2 /[pic] et finalement 2 / a car 2 est
un nombre premier donc [pic] n [pic] tel que a = 2n et en utilisant (1),
on obtient [pic] donc [pic]d'où par le même raisonnement, on obtient
l'existence d'un m [pic] tel que
b = 2m ce qui contredit le fait que les deux nombres a et b sont
premiers entre eux.

Pour tout entier [pic], [pic]est divisible par 6.
Le plus simple pour démontrer ce résultat est de factoriser l'expression :

[pic]
[pic]
Il suffit maintenant de s'apercevoir que c'est le produit de 3 nombres
entiers consécutifs donc l'un au moins est pair et l'un des trois est
multiple de trois donc ce produit est divisible par 6.
Remarque :
On peut aussi utiliser le petit théorème de Fermat :
Si [pic]est un nombre premier alors [pic], [pic]
On choisit alors [pic] puis[pic].



L'ensemble des nombres premiers est infini.
Définition : Un nombre entier [pic]est premier si [pic]
Par l'absurde, supposons que l'ensemble des nombres premiers est fini et
notons [pic] son plus grand élément qui existe puisque c'est un sous
ensemble non vide et majoré des entiers naturels[pic]. Formons l'entier
[pic] qui est entier et plus grand que [pic] donc ce n'est pas un nombre
premier par supposition. Cependant, par le théorème fondamental de
l'arithmétique, tout nombre entier est divisible par un nombre premier. Il
existe donc un nombre premier [pic] qui divise [pic]. Mais ce nombre
premier [pic] est plus petit que [pic] qui est le plus grand donc [pic]
divise [pic]. [pic]divise alors la différence entre ces deux entiers, c'est-
à-dire 1 : contradiction. L'ensemble des nombres premiers est donc infini.

Autre démonstration en utilisant les nombres de Fermat.
[pic] sont les nombres de Fermat impairs.
[pic] , [pic] , [pic], [pic], [pic] sont des nombres premiers et Fermat
pensait qu'ils étaient premiers pour tout [pic] mais Euler montra que
[pic]était divisible par 641. On ne connaît pas d'autres nombres de Fermat
premier à ce jour.
Cependant ils sont tous premiers entre eux deux à deux : [pic] :
Pour[pic], [pic] donc [pic]
Mais [pic] donc [pic]. On en déduit alors que [pic]
et [pic] ; ce qui s'écrit aussi [pic] . Prenons un diviseur positif
[pic] de [pic]et [pic], il divise alors nécessairement 2 donc [pic] mais
2 ne divise aucun [pic]puisqu'ils sont impairs. Finalement le seul diviseur
commun de [pic]et [pic] est 1, ils sont donc premiers entre eux.
Ceci nous permet de montrer à nouveau l'infinitude des nombres premiers
grâce encore au théorème fondamental de l'arithmétique ; tout nombre de
Fermat est décomposable en un produit de nombres premiers qui ne sont pas
dans la décomposition d'un autre nombre de Fermat. Puisqu'il existe une
infinité de nombres de Fermat car indicés par [pic] entier, il existe une
infinité de nombres premiers.

J'en profite alors pour vous donner le théorème de Gauss qui utilise les
nombres de Fermat :
Un polygone régulier est constructible à la règle et au compas si et
seulement si il a [pic] côtés où [pic] et les [pic]sont des nombres de
Fermat premiers.
On peut donc construire des polygones réguliers à :
3 côtés (le triangle équilatéral)
4 cotés (le carré)
5 côtés (le Pentagone régulier : construction ci-dessous)
6 côtés (l'Hexagone régulier en reportant 6 fois le rayon du cercle),
8 côtés (l'Octogone en traçant les bissectrices des angles des
diagonales du carré)
10 côtés (le Décagone en utilisant le pentagone)
12 côtés (le Dodécagone en utilisant l'hexagone)
15 côtés (le Pentadécagone : construction ci-dessous)
16 côtés (l'Hexadécagone en utilisant l'octogone)
17 côtés (l'Heptadécagone)
20 côtés (l'Icosagone en utilisant le décagone)
....
Construction du Pentagone régulier à la règle et au compas:
La construction d'un polygone régulier revient à la construction de son
angle au centre c'est-à-dire ici [pic]en connaissant par exemple son
cosinus. On va pour cela montrer que [pic]vérifie une équation du second
degré. Utilisons donc le polynôme [pic] qui a pour racines [pic]. Puisque
ce polynôme n'a pas de coefficient devant le monôme [pic] représentant la
somme des racines du polynôme [pic], on a [pic] En prenant la partie
réelle, on obtient :
[pic].
Or [pic]donc [pic]
[pic] [pic]
et puisque [pic]on a [pic][pic]donc
[pic][pic]
[pic][pic]
[pic]est donc solution du polynôme du second degré[pic] dont on sait
trouver ses racines pour obtenir la valeur exacte de [pic]. [pic]
et comme [pic], [pic] est positif donc [pic]



On fait
alors un triangle[pic]rectangle en [pic] avec [pic] et
[pic], la
longueur [pic] se construisant par un triangle rectangle de
côtés de
l'angle droit 2 et 1. L'angle [pic] mesure [pic]. On reporte
ensuite 3
fois l'arc [pic]obtenu par les deux points d'intersection du
cercle
circonscrit au pentagone de centre [pic] et de [pic] et [pic].



Remarque : on pourrait se demander ce qui va poser problème pour [pic].
Faisons le pour voir :
Trouvons, tout d'abord, le polynôme de plus bas degré dans [pic] qui
annule [pic].
Soit le polynôme [pic] qui a pour racines [pic].
On a donc [pic]
puis [pic].
Or [pic]donc [pic]
[pic] [pic]
[pic] [pic]
puisque [pic]
[pic] [pic]
ainsi [pic]est solution du polynôme [pic] qui est irréductible sur [pic].
En effet,