Exercice 1

TD2 : Rappels de Probabilités Exercice 1 : formule de Bayes
Deux cours ont lieu simultanément dans deux amphithéâtres contigus, A et
B, contenant respectivement 90% et 50% de filles. Dans B, il y a 4 fois
plus d'étudiants que dans A. Les deux amphithéâtres se vidant dans le même
couloir, calculer la probabilité qu'une fille choisie au hasard sorte de A.
Exercice 2 : Révision de diverses lois discrètes Deux joueurs A et B jouent à un jeu de hasard. A chaque partie jouée, A a
une probabilité p de la remporter.
1. Loi binomiale : Soit X le nombre de parties remportées par A au bout
de n parties. Donner la loi de X. Loi géométrique : Soit Y le nombre de parties nécessaires à
l'obtention du premier succès de A. Déterminer la loi de Y. Vérifier
que l'expression obtenue est bien une loi de probabilité. 2. Loi de Pascal : Soit Z le nombre de parties nécessaires à l'obtention
du r° succès de A. Déterminer la loi de Z. Calculer son espérance.
3. Loi binomiale négative : Soit T le nombre d'échec précédent le r°
succès de A. Donner la loi de Z. Exercice 3 : Probabilités conditionnelles
Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes à valeurs entières,
telles que pour tout [pic], où a et b sont deux éléments de ]0,1[. Calculer
P(X=Y), P(XY).
Exercice 4 : Lecture graphique de probabilités [pic]
[pic] Exercice 5 : inégalité de Bienaymé-Tchebychev On considère la fonction [pic]définie par :
[pic]
1. Déterminer le réel ? pour que [pic]soit une densité de probabilité.
2. Soit [pic]une va. De densité[pic]. Calculer[pic].
3. Déterminer un intervalle [pic] de centre 0 et de longueur [pic]tel
que[pic].
4. Quelle est la probabilité exacte de l'évènement [pic] ? Exercice 6 : Loi d'une fonction d'une variable aléatoire
[pic]
Exercice 7 : Variable tronquée Soit X une variable aléatoire réelle de fonction de répartition F. On
définit la variable aléatoire Z par Z=min(X,c) où c est un réel. Calculer
la fonction de répartition de Z. Z admet-t-elle une densité de
probabilité ?
Exercice 8 : Durée de vie de composants électroniques
Soit le circuit électronique représenté figure 3, où [pic]sont des
composants électroniques. Ce système fonctionne si et seulement si
[pic]fonctionne ainsi que [pic]. Pour tout [pic], la durée de vie [pic] du
composant [pic] suit une loi exponentielle de paramètre [pic]. On suppose
les variables [pic] mutuellement indépendantes.
[pic]
1. Exprimer la durée de vie V du circuit à l'aide de [pic].
2. Calculer la fonction de répartition et la densité de V. Exercice 9 : loi des extrêmes
[pic] [pic]
Exercice 10 : Loi log-normale
[pic]
Exercice 11 : Lecture de tables
[pic]
[pic][pic]