Corrigé DM 02

Terminale STI - Corrigé DM02 Exercice 1 (Bac STI Génie civil, Génie énergétique, Génie mécanique (A et
F) - septembre 2003) 1. Déterminer la forme algébrique de .
On a : =(-1+i)×)
donc : =-1-i+i+
donc : =-1+i)-
donc : =)+i))).
2. a) Calcul du module et d'un argument de , et .
On sait que si z=x+iy alors =+ ).
Donc : )==+ )=)).
De même : )==+ )=))
Enfin : )=)=+)\s\up 7(2) )=2))
De plus, l'argument ? d'un nombre complexe z=x+iy est défini par )
);sin?=) )))
Donc, si on note , et les arguments des complexes , et alors on a
:
=-) );=-) ))) donc =-;2) );=-;2) ))) donc =-)) (2?)
=-) );=) ))) donc =-;2) );=;2) ))) donc = )) (2?)
=;=;2) ))) donc = )) (2?)
b) En déduire le module et un argument de .
On sait que =× et que arg(z×z')=arg(z)+arg(z') (2?)
Donc )=)×)=2)).
et =+=+=)) (2?)
3. En déduire les valeurs exactes de cos) et de sin).
D'après la question 2.b), la forme trigonométrique de est
=2)+isin))
D'après la question 1, la forme algébrique de est : =-1-+i)
On en déduit que : cos)=-1-;2sin)=1-))
Donc : )=;2) );sin)=;2) )))
ou encore : )=-;4) );sin)=-;4) ))).
4. Placer les points A, B, C, D, E et F dans le plan P.
[pic] 5. On a : )=; )=1; )=k×)=k×2; )=.
Donc, si on veut que ces 4 modules forment une suite géométrique de
raison a, il faut que : =1;a×1=k×2;a×)=))
D'après la première équation, on déduit a=) )=;2) )
En reportant ce résultat dans la seconde équation, on obtient : ;2)
)=2k donc k=;2) );2) )=
En remplaçant a par ;2) ) et k par dans la 3e équation, on a bien :
;2) )××2)=;2) )×;2) )=
Donc, en prenant k=, les 4 modules ), ), ) et ) forment bien une suite
géométrique de raison ;2) ). Exercice 2 (Bac STI Génie électronique, Génie électrotechnique, Génie
optique - juin 2002) 1. Écrire les nombres complexes , , , et sous forme trigonométrique.
On a : )=+)\s\up 7(2) )=2;
)=+)\s\up 7(2) )==2;
)=4;
)=+)\s\up 7(2) )==2;
)=+)\s\up 7(2) )=2.
De plus : )=;sin)=;2) ))) donc = (2?)
)=) )=;2) );sin)=;2) )=)) donc = (2?)
)=1;sin)=0)) donc =0 (2?) )=) )=;2) );sin)=;2) )=-)) donc =- (2?) (mais on
aurait pu écrire =) d'où =-)
)=;sin)=-;2) ))) donc =- (2?)
En définitive les écritures trigonométriques des nombres , , , et
sont :
=2)+isin))=)
=2)+isin))=2)
=4(cos0+isin0)=
=2)+isin))=2)
=2)+isin))=).
2. Construction à la règle et au compas
[pic]
3. Calcul de distances
On a : OB=)=2; BC=-)==2; CD=-)=)=2
On sait que =) et que =), donc les points F et E sont les symétriques
des points B et C par rapport à ))
De plus les points O et D sont sur l'axe )), donc DE=DC=2 , EF=CB=2 et
enfin OF=OB=2.
Comme l'unité graphique vaut 2 cm, on peut dire que : ).
(mais il n'est pas encore démontré que OBCDEF est un hexagone
régulier...)
4. Calcul d'angles.
On a : ;))=arg-;-) ))=arg;-) ))=arg;-) ))=arg(4)-arg)=0-)=
De même : ;))=arg;) ))=arg)-arg)=-)= (2?)
De même : ;))=arg;) ))=arg)-arg)=-0= (2?)
5. Quelle est la nature du triangle OCD ?
Nous savons que ;))= et que ;))=
Par ailleurs la somme des angles d'un triangle est égale à ? radians.
Donc ;))=?--=)) (2?) Le triangle OCD est donc rectangle en C.
Autre méthode avec la relation de Chasles:
;))=;))+;))+;))=;))+?+;))=-+?-=
6. Aire des triangles OCD et OBC puis aire du polygone OBCDEF.
Le triangle OCD étant rectangle en C on peut dire que : =);2) )=;2)
)=2))
Pour le triangle OBC on peut utiliser la formule vue en première :
Aire(OBC)=OC×OB×sin(;)
Or ,)=arg)-arg)=-= (2?) et sin)=
Donc : )×)×=×2×2×=)).
Donc +)=6)).
En cm2, l'unité d'aire vaut 4 cm2, donc : (OBCDEF)=24 cm2)). Problème f(x)=-x+ln(2x+2)-ln(x+2) Préliminaires
1. Montrer que sur , (2x+2)>0 et (x+2)>0
En effet, si x>-1 alors 2x>-2 donc (2x+2)>0 d'une part,
et, si x>-1 alors x>-2 donc (x+2)>0 d'autre part.
Ces 2 inégalités justifient que la fonction f est bien définie sur .
2. Étude du signe de +3x+1.
Le discriminant de ce polynôme est : ?=5
Il a donc 2 racines : =;2) ) ó-2,62 et =;2) )ó-0,38
Il est positif à l'extérieur de ses racines (donc sur les intervalles
))) et ;+õ)))) et négatif sur ;))).
Il apparaît donc que le le polynôme +3x+1 ne s'annule qu'une seule
fois sur l'intervalle et que la valeur qui l'annule est ;2) ))). Partie A - Limites et asymptotes
1. Déterminer graphiquement f(x).
On a : (2x+2)=0;(lnx)=-õ)) donc, par composition des limites :
(ln(2x+2))=-õ.
Par ailleurs : -x-ln(x+2)=1-ln1=1
Donc, par addition : f(x)=-õ)).
On en déduit que ).
2. a) Modification de l'écriture de f(x).
On sait que si a et b sont 2 réels strictement positifs alors
lna+lnb=lnab et lna-lnb=ln).
On peut donc écrire, pour tout réel x>-1 :
ln(2x+2)=ln(2(x+1))=ln2+ln(x+1).
Donc pour tout réel x>-1 : f(x)=-x+ln2+ln(x+1)-ln(x+2)
ou encore : )))
b) Déterminons la limite de f en +õ.
On a : =1;lnx=0)) donc ln)=0
Par ailleurs : (-x+ln2)=-õ
Donc : ))=-õ
ou encore : f(x)=-õ))
c) Asymptote oblique
on a : f(x)-(-x+ln2)=ln)
or : ln)=0
Donc : (f(x)-(-x+ln2))=0)).
Donc).
d) Position de C par rapport à D.
Cette position est déterminée par le signe de f(x)-(-x+ln2) c'est-
à-dire de ln) .
Or si x>-1, alors x+1>0.
On peut donc écrire, pour tout x? : 0