Probabilité - Département de Mathématiques

Probabilité
Document d'accompagnement |Niveau |Seconde professionnelle |
|Module |STATISTIQUE ET PROBABILITÉS |
|Capacités et |Expérimenter puis modéliser informatiquement pour |
|connaissances |monter la stabilisation de la fréquence et approcher la|
| |notion de probabilité. |
| |Développer l'esprit critique par rapport à une démarche|
| |expérimentale. |
|Thématique |Vie sociale et loisir |
|Question |Comment déterminer la répartition des M&M's dans un |
| |sachet sans le vider ? |
|Attitudes |L'enseignant devra être dans une posture active. |
| |Il est conseillé de mettre les élèves en situation |
| |d'investigation. Il faut présenter l'activité et |
| |ensuite interroger les élèves sur les démarches |
| |possibles pour répondre à la question. (le document |
| |sera distribué après cette phase aux élèves). | Consignes professeur Le nombre total de M&M's est 14 par sachet.
La séquence se déroule en binôme.
Chaque groupe a 1 sachet.
Chaque sachet contient le même nombre de M&M's de chaque couleur. (14 = 6 +
3 + 2 + 2 + 1)
Nous n'utiliserons que les M&M's de couleur bleu, jaune marron, rouge et
vert. Les paquets du commerce contiennent aussi des M&M's de couleur orange
qui ne seront pas utilisés. Le but est ainsi de restreindre les choix pour
avoir des résultats permettant une analyse. Durée prévue : 55 minutes Une feuille tableur prête à l'emploi est jointe à ce document. Ce qui est à la base de cette activité est la convergence des fréquences
vers la valeur théorique lorsque le nombre de tirages augmente. Ceci est
une propriété de la loi des grands nombres.
Cette loi sert en statistique inférentielle, pour déterminer une loi de
probabilité à partir d'une série d'expériences. Un peu d'histoire
Historiquement, l'étude des probabilités a débutée pour déterminer les
chances de gains dans des jeux de dés.
Le problème initial le plus fameux est celui de la répartition
équitable des enjeux d'une partie inachevée, à un moment où l'un des
joueurs a un pris un avantage, non décisif évidemment.
Le mathématicien italien Luca Pacioli l'évoque dans Summa de
Arithmetica, Geometrica, Proportio et Proportionalita (1494).
Sa solution au problème ne fait pas l'unanimité.
Deux siècles plus tard, Pascal, pour répondre à un problème similaire, posé
par le Chevalier de Méré, formalise le résultat.
Cette résolution est à l'origine d'une correspondance entre Pascal et
Fermat.
Lors d'un voyage à Paris, le physicien et mathématicien hollandais,
Christiaan Huygens, prend connaissance de cette correspondance. Il étudie
ces réflexions et publie un traité sur le sujet en 1657, Tractatus de
ratiociniis in aleae ludo (Traité sur les raisonnements dans le jeu de
dés). C'est le premier ouvrage consacré à la théorie des probabilités.
Huygens introduit, entre autre la notion d'espérance mathématique. En 1713 Jakob Bernoulli publie un traité plus complet sur les
probabilités Ars Conjectandi. Il y aborde le lien entre probabilités et
fréquences lors de tirages successifs et énonce la loi faible des grands
nombres.
Le point de départ de son étude est le jeu de pile ou face. Ses recherches
ont été généralisées, plus tard, par Kolmogorov et Tchebychev. On peut résumer ce théorème en le simplifiant : pour un grand nombres de
lancers de pièces (jeu de pile ou face) l'écart entre fréquence et
probabilité tend vers zéro. C'est à dire que si l'on effectue beaucoup de
lancers, la fréquence d'apparition du pile va tendre vers 1/2. C'est assez
intuitif. En termes plus rigoureux, on considère un tirage aléatoire dont l'un des
résultats possibles a une probabilité p ; on répète l'expérience n fois, et
l'on obtient m fois le résultat considéré; alors :
? > 0 et ? > 0, ? N tel que, si n > N, P( | - p | > ? ) < ?
On doit également à Bernoulli la première expression de la loi binomiale.
Un peu de théorie
On distingue essentiellement deux énoncés, appelés respectivement "loi
faible des grands nombres" et "loi forte des grands nombres". Loi faible des grands nombres : également appelée théorème de Khintchine. On considère une suite (Xn)n??* de variables aléatoires indépendantes
définies sur un même espace probabilisé, ayant même variance finie et même
espérance notées respectivement V(X) et E(X). La loi faible des grands
nombres stipule que, pour tout réel ? strictement positif, la probabilité
que la moyenne empirique Yn ? = s'éloigne de l'espérance d'au moins ?,
tend vers 0 quand n tend vers l'infini.
? > 0 P - E(X)) > e) = 0 La loi faible des grands nombres se démontre en utilisant l'inégalité de
Bienaymé-Tchebychev Loi forte des grands nombres
Considérons une suite (Xn)n?? de variables aléatoires indépendantes qui
suivent la même loi de probabilité, intégrables : E(|X0|)