le corrigé - Cours particuliers de maths à Castres

Correction devoir surveillé 1 ES.

Exercice 1 :
A. Il fallait calculer le discriminant : [pic]. Pas besoin de prendre la
calculatrice, il est clair que la somme de nombres positifs est positive...
Il y a donc deux solutions. VRAI.
B. Il existe plusieurs méthodes : on peut étudier le signe de[pic]en
factorisant (avec identité remarquable ce qui donnerait[pic] ) puis étudier
le signe avec un tableau...
Sinon on peut aussi remarquer qu'en prenant[pic]on a[pic]qui est négatif.
L'expression n'est donc pas positive pour tous les x puisqu'on en a trouvé
un qui la rend négative...FAUX
C. Le coefficient a est égal à -1 dans ce cas, donc la parabole admet un
maximum. Si ce maximum est strictement supérieur à zéro, l'assertion est
fausse. Le maximum est situé à [pic] et il vaut [pic]. L'expression est
donc bien négative (mais n'est pas strictement négative...).VRAI.
D. Il suffit de remplacer x par 1 : [pic].FAUX.
E. Cette question est un peu théorique. Prenons un trinôme du second
degré :[pic] (attention au vocabulaire, ceci [pic]n'est pas un trinôme mais
une équation polynomiale... Mais cela n'a pas beaucoup d'importance pour
les élèves de 1ES.). En multipliant tous les coefficients on obtient :
[pic]qu'on peut factoriser en [pic]. Pour obtenir les racines il suffit
d'écrire[pic]et on se rend compte qu'on peut diviser par deux, et qu'en le
faisant on revient au départ, Les racines sont donc les mêmes ! FAUX.
F. Cela signifie que le point de coordonnées [pic]vérifie l'équation.
Vérifions :
[pic]. VRAI.
G. [pic] et [pic]. FAUX.
H. Le coefficient a est négatif, ce qui nous informe de l'allure de la
courbe : elle croît jusqu'au sommet, puis elle décroît. FAUX.
I. Il n'y a pas d'autres méthodes que de développer :
[pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic]. C'est une équation du premier degré,
il n'y a qu'une solution. FAUX.
J. La fonction racine carré n'est pas définie sur [pic]mais sur[pic].
Cependant s'arrêter à cette conclusion serait dangereux. Il faut étudier le
signe de[pic], et pour cela le factoriser en [pic]. Puis faire un tableau
des signes. « Le signe de a à l'extérieur des racines »
|[pic] |[pic] -1 |
| |1 [pic] |
|[pic] |+ 0 - 0 |
| |+ |


Pour que la racine carrée existe il faut être dans le positif, donc dans
[pic]...FAUX.

Exercice 2 :
Pour résoudre cette inéquation il fallait étudier son signe.
Quelles sont les zéros ?
[pic], le discriminant vaut [pic]. Deux solutions qui sont : [pic] et
[pic].
Quelles sont les valeurs interdites ?
[pic], le discriminant vaut [pic]. Deux solutions qui sont : [pic] et
[pic].
Remarque : il était aussi possible de « voir » les racines évidentes...

|[pic] |[pic] -2,6 -1 |
| |1 7 [pic] |
|[pic] | + 0 - 0 |
| |+ + + |
|[pic] | - - |
| |- 0 + 0 - |
|Quotient | - 0 + 0 |
| |- || + || - |


Finalement :
[pic].

Exercice 3 :
1. [pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic]
[pic][pic].
2. a) et b) Le coefficient a vaut -1, la courbe croît, atteint un maximum
puis décroît. Le maximum est situé en [pic]. On peut dresser le tableau :
|[pic] |20 80 |
| |90 |
|[pic] | |
| |2500 |
| | |

3. Le bénéfice est maximal pour un taux d'occupation de 80%.
4. [pic], [pic]. Deux solutions qui sont : [pic] et [pic].
On ne retient que la première solution car elle est dans l'intervalle
d'étude.
Le seuil de rentabilité est 30% d'occupation.

Exercice 4 :
1. Si je vends un article, je récupère 1500E.
Si je vends 2 articles, je récupère 1500Ex2.
...
Si je vends n articles, je récupère 1500n E, soit 1,5n milliers d'euros.
Donc[pic].
2. Le bénéfice se calcule en soustrayant la recette au coût, soit
[pic].
3. a) [pic], [pic]. Deux solutions : [pic]et[pic].

|[pic] |[pic] 35 |
| |140 [pic] |
|[pic] | + 0 - |
| |0 + |

[pic].
b) On veut un bénéfice positif, donc [pic][pic][pic][pic]
[pic]. (il faut changer le sens de l'inégalité quand on multiplie par -1)
L'intervalle est donc[pic].