doc - Baudrand

Chapitre IV : suites et séries


1. 1°) Soit x ( ]-1, 1[ et Sn(x) = 1 + x + ...+ xn. Montrer que
(Sn(x))n(N est une suite convergente et calculer sa limite (c'est une
fonction de x).
2°) Etablir les résultats suivants (croissance comparée de an et nb)
:
a > 1 et b > 0 ( [pic][pic] = +(.
0 < a < 1 et b > 0 ([pic] = 0.
Application: limites on +( de : n2.(0,9)n ; [pic] ; [pic] ; (n +
1).xn ; n.xn+1 (x ( ]-1, 1[).
3°) Pour x ( ]-1, 1[, calculer la limite de Tn(x) = [pic], puis de
Un(x) = [pic]quand n tend vers +(.

2. 1°) Soit x > -1. Démontrer : ln(1+x) ( x .
2°) Soit k dans ]0, 1[ et soit (un) définie par un = [pic]
a) Montrer que (un) est croissante.
b) Montrer que la suite (vn) définie par vn = In(un) est majorée.
c) Montrer que (un) est convergente.

3. Soit un = 1 + [pic], et vn = un + [pic].
Montrer que (un) et (vn) sont deux suites adjacentes. On admet que
leur limite commune est le nombre e : 1 + [pic] = e.
Ecrire un programme en turbo-pascal qui calcule et affiche une
valeur approchée de e pour une précision fournie par l'utilisateur.

4. Constante d'Euler. Soit u et v les deux suites définies par :
un = 1 + [pic] vn = 1 + [pic]

1°) Montrer que u et v sont deux suites adjacentes. On sera amené à
étudier les VARIATIONS, puis le SIGNE des fonctions f et g définies par :
f(x) = [pic] ; g(x) = [pic] .
2°) La limite commune des suites u et v est la constante d'Euler notée
( .Ecrire en turbo-pascal un programme qui calcule et affiche une valeur
approchée de ( pour une précision fournie par l'utilisateur ; à la
calcu1atrice, donner une telle valeur approchée à 0,1 près.
Remarque: ( = 0,577 à 0,001 près. On ne sait pas si ( est rationnel
ou irrationnel.

5. ( un+1 = f(un) ) 1°) Montrer que pour tout x > 0 , on a : 0 ( ln(1+x) (
x. Cas d'égalité. 2°) Soit u la suite définie par u0 > 0 et, pour tout n
dans N : un+1 = ln(1 +un). Montrer que la suite u est bien définie (on
montrera pour tout n dans N, un est bien défini et un > 0) ; montrer que
la suite u est décroissante; en déduire qu'elle est convergente, et
déterminer sa limite.
6. ( un+1 = f(un) ) Soit u la suite définie par : u0 = [pic] et, pour tout
n ( N : un+1 = [pic].
1. Montrer que la suite u est bien définie et que, pour tout n dans N :
1/2 ( un ( 1.
2. Montrer que la suite u est monotone.
3. Montrer que la suite u converge et déterminer sa limite.

7. ( un+1 = f(un) ) Soit u la suite définie par u0 = 3/2 et pour tout n
dans N :
un+1 = [pic]
1°) Montrer successivement : (n ( N un > [pic] ; u est décroissante ; u
est convergente ; puis déterminer sa limite. (On pourra introduire et
étudier la fonction f telle que pour tout n dans N : un+1 = f(un).)
2°) Etudier le cas général u0 > 0.

8. ( un+1 = f(un) ) Soit u la suite définie par son premier terme u0 > 0 et
la relation de récurrence (n appartenant à N) : un+1 = f(un), avec
f(x) = [pic]
1°) Etudier f sur R+*. Préciser la position relative de Cf et D
d'équation y = x. Tracer Cf et D.
2°) Montrer que la suite u est bien définie et que pour tout n dans N* :
un ( 1.
3°) Montrer que la suite u est décroissante à partir de n = 1.
4°) Montrer que la suite u converge et déterminer sa limite.

9. (un+1 = f(un) , iscid 90) 1°) Etude d'une suite. Soit ( un nombre réel
positif donné.
a) Montrer que les données : " u0 > 0 et, pour tout entier naturel n,
un+1 = [pic] " permettent de définir une suite u.
b) Calculer un+1 ( [pic]. En déduire que pour n ( 1, un est minoré par
[pic].
c) Etudier le sens de variation de la suite u.
d) Montrer que la suite u est convergente et calculer sa limite.
e) Déterminer l'abscisse du point d'intersection, avec l'axe (Ox), de la
tangente au point d'abscisse un à la parabole d'équation y = x2 - (.
Interpréter géométriquement la suite u.
2°) Algorithme de calcul de la racine carrée de (. Ecrire, en turbo-
pascal, un programme qui reçoit la donnée du réel ( (( > 0), calcule les
termes de la suite u correspondante et affiche à l'écran la valeur
approchée de sa limite que permet la précision de la machine utilisée.

10. (un+1 = f(un), isc 90) 1°) Etudier les variations de la fonction g
définie par :
g(x) = x3 - 5x - 1.
(En l'absence de calculatrices, on admettra que le maximum local de f
est positif et que le minimum local de f est négatif.)
En déduire que l'équation x3 - 5x - 1 = 0 possède trois racines a, b, c,
avec a < b < c Donner des valeurs approchées de a, b, c à 10-1 près.
(On trouve : (2,2 ; (0,3 ; 2,3.)
2°) On considère la suite u définie par son premier terme u0, et par la
relation de récurrence :
(n ( N un+1 = [pic].
a) Montrer que la suite u est monotone.
b) Si la suite u est convergente, quelles sont les valeurs possibles
de sa limite ?
c) Etudier la suite u dans les trois cas particuliers suivants :
u0 = -3 ; u0 = 0 ; u0 = 3 .


11. ( un+1 = f(un) ) Soit f définie par f(x) = ex/(ex+1).
1. Etudier les variations de la fonction f.
2. Soit g(x) = f(x) - x.
a. Etudier les variations de g. En déduire que l'équation f(x) = x admet
une unique solution notée (. Préciser la position de Cf par rapport à
la première bissectrice D.
b. Tracer Cf et D dans un repère orthonormé.
3. Soit u la suite définie par son premier terme u0 appartenant à R et
par la relation de récurrence un+1 = f(un).
a. Montrer que si u converge alors sa limite est (.
b. Montrer que la suite u est monotone.
c. On suppose u0 > (. Montrer que la suite u est convergente.
d. Etudier les cas u0 = (, u0 < (.
e. Conclure.
4. Ecrire en turbo-pascal un programme qui calcule et affiche les N
premiers termes de la suite u. N et u0 sont fournis par l'utilisateur.


12. (suite définie implicitement, escp 90) Soit f la fonction définie sur
[0, +([ par
f(t) = ln(1 + t) + [pic] .
1. a. Montrer que la fonction f est strictement croissante.
b. Déterminer la limite du rapport f(t)/t lorsque t tend vers +(.
Tracer la courbe représentative de f.
2. Soit n un nombre entier naturel non nul. On considère l'équation (En)
: f(t) = 1/n.
a. Montrer que l'équation (En) admet une solution an, et une seule.
Donner des valeurs approchées de a1 et a2 à 10-2 près.
b. Montrer que la fonction f admet une fonction réciproque. Dresser le
tableau de variation de f -1 et tracer la courbe représentative de
cette fonction. En déduire le sens de variation et la limite de la
suite (an).
c. Déterminer la limite du rapport f(t)/t lorsque t tend vers 0 par
valeurs strictement positives. En déduire la limite de la suite
(nan).

13. (suite définie implicitement) Soit a un nombre réel strictement
positif. Pour tout nombre
entier naturel non nul n, on considère la fonction polynomiale Pn
définie par la
relation:
Pn(x) = [pic].
1°) Montrer que l'équation Pn (x) = 0 admet une solution positive
et une seule, que l'on notera xn. Montrer que xn < a.
2°) Etudier le signe de Pn+1 (xn). En déduire que la suite
(xn)n(1 est monotone.
3°) Montrer que la suite (x n)n(1 est convergente. On note [pic]
sa limite.
Prouver que 0 ( [pic] < 1.
4°) Montrer que pour tout nombre entier naturel non nul n le nombre xn
est solution de l'équation:
xn+1 - (a+1)x +a = 0
En déduire que: [pic] = a/(a+1) .







Séries

15. Quelle est la valeur de 0,99999.... ? et de 1,11111.... ? et de
0,142857142857142857.... ?


16. Déterminer deux nombres réels a et b tels que : (n ( N \{0,1} [pic].
En déduire la valeur de [pic], puis de [pic].


17. Soit un = [pic] et Sn = [pic].
1°) Déterminer trois nombres réels a, b, c tels que pour tout n > 3
on ait :
un = [pic].
2°) en déduire que la suite (Sn)n>1 est convergente et donner sa
limite. Que peut-on dire de la série de terme général uk, k appartenant
à N* ?

18. Soit up = [pic], p entier naturel non nul.
1°) Déterminer a et b tels que up = [pic].
2°) Calculer Sn = [pic]. En déduire la somme de la série de terme
général up, p > 1.
19. 1°) Calculer les sommes suivantes : [pic], [pic], [pic],
[pic].
2°) Etudier la convergence des séries de terme général suivant :
(-2)k ; (0,3)k ; [pic] ; [pic] ; [pic] ; [pic] ; e-n ; [pic] ;
[pic].

20. (inseec) Soit (un) et (vn) les deux suites définies par :
un = [pic] =[pic] ;
v1 = 1 et (n >2 vn = 1 + [pic]

1°) Trouver deux réels a et b tels quel pour tout n supérieur ou égal à
2 :
[pic] pour tout n ( 2. En déduire: (n ( N vn = 2 - 1/n.
2°) Montrer que (un) est croissante et que (n ( N* un < vn. En déduire
que (un) converge.
3°) soit n ( N et t ( [0, 1[ ; montrer : [pic] = 1 + t + t2 + ... + tn
+ [pic].






21. (H EC math2 91) x désigne un réel appartenant à ]0, 1[.
1°) Pour tout entier naturel n, on pose s(n,0) = 1 + x + x2 + ... + xn.
Calculer s(n,0) et sa limite quand n tend vers +(.
2°) Pour tout entier naturel n on pose: s(n, 1)=1 + 2x + 3x2+ ... +
(n+l)xn
a) Déterminer la limite de la suite (nxn) lorsque n tend vers +(.
b) Exprimer (1-x)s(n,l) à l'aide de s(n,0) et en déduire la limite de
s(n,l) quand n tend vers +(.
c) Retrouver ce résultat à l'aide de la dérivation.
3°) Plus généralement, pour tout couple (n, r) de nombres entiers
naturels, on pose :
s(n, r) = [pic].
a) on suppose que n et r sont non nuls. On rappelle que, si r < n, on a
: