MP/PSI THEOREME DE L'ENERGIE CINETIQUE Lycée Paul Valéry ...

I INTRODUCTION

Le théorème de l'énergie cinétique (TEC) appliqué à un système de solides
donne une relation scalaire entre les paramètres cinématiques du mouvement,
les caractéristiques d'inertie des solides et les efforts extérieurs
appliqués au système isolé.

Cette relation unique est une combinaison des 6 équations fournies par le
PFD. Ce n'est pas une relation supplémentaire.


Utilisation du T.E.C. :

. on utilisera le TEC lorsque le mouvement est défini par un seul
paramètre cinématique, c'est-à-dire lorsque la mobilité cinématique du
mécanisme vaut 1 :[pic]

. on utilisera le TEC lorsque que le mécanisme est une chaîne fermée de
solides, pour une chaîne ouverte nous préférerons utiliser le PFD.


II ENERGIE CINETIQUE

1. Définition
Soit un solide S de masse m en mouvement par rapport galiléen[pic]. Soit M
un point de S de masse dm. Soit G le centre d'inertie de S.
[pic]
Fig. 1

L'énergie cinétique galiléenne de S est :
[pic]

L'énergie cinétique est une grandeur énergétique scalaire dont l'unité est
le N.m : [pic]

2. Calcul
Le mouvement de S par rapport à [pic]est défini par le torseur cinématique
en M de[pic] :[pic]

Par définition, [pic] [pic]



D'où [pic]

Terme 3 Terme 2 Terme 1
Terme 1 :

[pic]
En effet, on peut permuter circulairement le produit mixte.

D'où [pic]
Terme 2 :

[pic]
[pic]

Terme 3 :

[pic]
En regroupant chaque terme :
[pic]

[pic] [pic]

L'énergie cinétique galiléenne d'un solide S en mouvement par rapport
[pic]est :

[pic] [pic]

[pic] [pic]

[pic] [pic]


[pic] [pic]



Energie cinétique Energie cinétique
de translation de rotation



Cas particulier du calcul de l'énergie cinétique pour un point fixe A[pic]S
:

[pic]
Pour un point fixe A[pic]S : [pic]

Calcul de l'énergie cinétique d'un ensemble de solides :

Pour un ensemble ( de solides Si, l'énergie cinétique galiléenne de ( est
la somme des énergies cinétiques galiléennes de chaque solide :
[pic]

3. Exemple traité : Système bielle-manivelle

Nous souhaitons calculer l'énergie cinétique de l'ensemble des solides en
mouvement :[pic]

[pic]

Calcul de l'énergie cinétique de 1/R :
O est un point fixe donc [pic]
[pic]

Calcul de l'énergie cinétique de 2/R :

Par définition : [pic]
[pic] ;
[pic]
D'où [pic]

[pic]
D'où [pic]

Finalement :

[pic]



Calcul de l'énergie cinétique de 3/R :

3 est en translation donc [pic] et tous les points de 3 ont la même
vitesse.
[pic]
Finalement : [pic]

Energie cinétique totale :

[pic]

III PUISSANCE

1. Puissance des efforts extérieurs.
Soit S un solide en mouvement par rapport à [pic]Galiléen. Le mouvement de
S est définie par le torseur cinématique en A de[pic] :[pic]

Une action mécanique extérieure exercée sur S est représentée par son
torseur statique en A :
[pic]


La puissance développée à l'instant t par un effort extérieur sur S par
rapport à [pic] est le produit du torseur cinématique par le torseur
statique :

[pic]

[pic]


La puissance totale [pic] des efforts extérieurs exercés sur S par rapport
[pic]est la somme des puissances développées par chaque effort extérieur :
[pic]


. Pour un ensemble ( de solides Si, on calcule la puissance développée
par les efforts extérieurs à ( sur chacun des solides et on fait la
somme :
[pic]





2. Puissance des inter-efforts entre deux solides :

a. Définition

Soit E un ensemble constitué par deux solides S1 et S2. La puissance des
inter-efforts entre S1 et S2 est :
[pic]
en appliquant la loi d'action-réaction, on obtient :
[pic]
en composant les vecteurs instantané de rotation ;
[pic]


La puissance des inter-efforts entre S1 et S2 est donc :

[pic]

[pic]


b. Cas des liaisons parfaites

Si S1 et S2 sont en liaison parfaites sans frottement ni jeu, alors la
puissance des inter-efforts entre S1 et S2 est nulle.

3. Exemple traité : Système bielle-manivelle

Puissance des efforts extérieurs :

Bilan de efforts extérieurs à [pic] :

. Liaison pivot glissant 0-3 parfaite ; P=0
. Liaison pivot 0-1 parfaite ; P=0
. Couple moteur sur 1 ;
. Effort de pression sur 3:



Puissance développée par le moteur sur 1:

[pic]
[pic]

Puissance développée par le mélange sur 3:

[pic]
[pic]

Puissance totale des efforts extérieurs :

[pic]

Puissance des inter-efforts :

Cette puissance est nulle car toutes les liaisons sont parfaites.

IV THEOREME DE L'ENERGIE CINETIQUE

1. Pour un solide
Soit S un solide en mouvement par rapport à [pic]Galiléen.
En appliquant le PFD à S, on sait que :
. [pic]; (1)
. [pic] ; (2)

On effectue le produit scalaire de (1) avec[pic].
On effectue le produit scalaire de (2) avec [pic]et on fait la somme.
On obtient : [pic]

En revenant aux définitions et en appliquant la conservation de la masse,

[pic]
D'où [pic]


En développant le produit scalaire :
[pic]

[pic]
[pic]

Finalement on obtient le théorème de l'énergie cinétique pour un solide S
en mouvement dans un référentiel galiléen R.


Théorème de l'énergie cinétique pour un solide S : TEC

La dérivée par rapport au temps de l'énergie cinétique galiléenne d'un
solide est égale à la puissance des efforts extérieurs :

[pic]



2. Pour un système de solides

Soit ( un ensemble de i solides Si. Appliquons le TEC à chacun des
solides :

Pour [pic] : [pic]
Sommons sur l'indice i :
[pic] ;
D'où finalement :


Pour un système de solides (, le théorème de l'énergie cinétique nous
donne :

[pic]

Puissance Puissance
Extérieure
Intérieure

La dérivée de l'énergie cinétique galiléenne d'un système de solides est
égale à la puissance développée par les actions extérieures au système
augmentée des puissances des inter-efforts entre les solides constituants
le système.


Nota Bene :

. Faire le bilan des actions extérieures et calculer leurs puissances ;

. Faire le bilan des liaisons parfaites car dans ce cas la puissance des
inter-efforts est nulle ;

. Repérer les actions internes de frottements ;

3. Exemple traité : Système bielle manivelle

Appliquons le T.E.C. au système de solides[pic] : [pic]

Nous obtenons l'équation scalaire permettant de relier le couple moteur à
l'effort de pression dans le cylindre :

[pic]















MICROMOTEUR 2 TEMPS WEBRA














































[pic] ; [pic] ; [pic] ; [pic] ; [pic] ; [pic].
Couple moteur sur le vilebrequin 1 : [pic] ;
Effort du mélange 2-temps sur le piston 3 : [pic] ;
-----------------------



3 : piston

2 : bielle

1 : vilebrequin

0 : corps

0

3

2

1

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

0

1

2

3

pivot

pivot

pivot

pivot
glissant

Couple
moteur

Effort
pression