Correction - Math93

TD n°2 : Valeur future et actualisation - Correction des exercices Versement unique . Exercice 1: Valeur future et calculs d'années
On place 10 000 pendant n années au taux actuariel annuel de 3.5%. La
valeur future obtenue au bout des n années est de 15 110.69. Calculer n.
On a l'équation : 15 110,69 = 10 000((1 + 3,5%)n donc n = ) ; ln(1 + 3.5%)
)) =12
. Exercice 2 : Valeur future et calculs de taux
On place 10 000 pendant 7 années au taux actuariel annuel de t%. La valeur
future obtenue au bout des 7 années est de 20 000. Calculer t.
On a l'équation : 20 000 = 10 000((1 + t%)7
donc (1 + t%)7 = 2 soit t% = 21/7 - 1 0,10409 d'où un taux de 10,409 % (t
= 10,409)
. Exercice 3 : Valeur actuelle
Soit 100 000 acquis au terme d'un placement de 7 ans au taux annuel de 6%,
calculer sa valeur actuelle.
C0 = = 100 000 1,06 - 7 66 505,71.
. Exercice 4 : Valeur actuelle et calcul d'années.
Soit 100 000 acquis au terme d'un placement de n années au taux annuel de
5%, sa valeur actuelle étant de 67 683,94. Calculer n.
100 000 1,05- n = 67 683,94 ou 67 683,94 ( 1,05n = 100 000
donc 1,05n =
et n = );ln(1,05))) 8 années
. Exercice 5 : Valeur actuelle et calcul de taux.
Soit 100 000 acquis au terme d'un placement de 10 années au taux annuel de
t%, sa valeur actuelle étant de 64 392,77. Calculer t.
100 000 = 64 392,77 ( (1 + t%)10 soit (1 + t%)10 =
et t% = )1/10 -1 0,04499 donc le taux est de 4,5 % (t = 4,5)
. Exercice 6 : Valeur future et diagramme des flux
Soit un capital de 500 000 placé au taux annuel actuariel de 5%. Quelle est
la valeur future de ce capital dans 5 ans ? On présente ici le diagramme
des flux.
[pic]
. La première flèche se situe au temps t0 et correspond au versement
par l'investisseur de la somme de 500 000 au titre du placement
(flux négatif car il s'agit d'un décaissement). Elle représente la
valeur actuelle.
. Les traits verticaux correspondent aux différentes périodes de
capitalisation (il y en a 5).
. La seconde flèche est dirigée vers le haut (sens positif) car il
s'agit pour l'investisseur d'un encaissement. C'est la valeur
future (au terme des 5 années)
Correction : Vf = 500 000 1,055 ? 638 140,78
Suite de versements
. Exercice 7 : Valeur actuelle
Soit une suite de 5 versements annuels à terme échu :
? le premier de 50 000 le 01.01.n+1
? le second de 10 000,
? les troisième et quatrième de 5 000
? le dernier de 15 000.
Déterminer la valeur actualisée au taux de 3% annuel au 01.01.n. (Rép. :
79 926,92), puis cette même valeur si les flux sont début de période (Rép :
82 324,73).
Correction :
1°) Va = 50 000 1,03 - 1 + 10 000 1,03 - 2 + 5 000 1,03 - 3 +5 000
1,03 - 4 + 15 000 1,03 - 5
2°) Va = 50 000 + 10 000 1,03 - 1 + 5 000 1,03 - 2 +5 000 1,03 - 3
+ 15 000 1,03 - 4
. Exercice 8 : Valeur future
Soit un contrat de placement de 1 000/ mois durant 3 ans au taux actuariel
annuel de 5%.
. Signature du contrat le 01.01.n
. Premier versement le 01.02.n
. Fin du contrat et dernier versement le 01.01.n+3
Quelle est la valeur future de ce placement ? Présenter le diagramme des
flux.
Correction :
[pic]
Il s'agit de versements à termes échus.
Donc Cu = 1 000 + 1 000 (1 + Tm) + 1 000 (1 + Tm)2 + .... + 1 000
(1 + Tm)35
(1 + Tm)35 au premier versement 01.02.n ; Tm est le taux mensuel
équivalent (à calculer)))
Soit après factorisation
Cu = 1 000
Cu = 1 000 (somme des termes d'une suite géométrique de raison
1+Tm )
Il faut calculer Tm :
On a : (1 + Tm)12 = (1 + Ta)1 soit
Donc
. Exercice 9 : Valeur future.
On reprend l'exercice précédent (exercice 8) avec cette fois.
. Début du contrat le 01.01.n
. Premier versement le 01.01.n
. Dernier versement le 01.12.n+2
. Fin du contrat le 01.01.n+3
Quelle est la valeur future de ce placement ? Présenter le diagramme des
flux.
Correction :
[pic]
Il s'agit de versements à termes à échoir.
Donc Vf = 1 000 (1 + Tm) + 1 000 (1 + Tm)2 + .... + 1 000 (1 +
Tm)36
(1 + Tm)36 au premier versement 01.01.n ; Tm est le taux mensuel
équivalent (à calculer)))
Soit après factorisation
Vf = 1 000 = Cu (1 + Tm)
Vf = 1 000 (1 + Tm)
(Somme des termes d'une suite géométrique de raison 1+Tm )
Donc
. Exercice 10 : Valeur future.
Soit un contrat de placement de 1 000/ mois durant n ans au taux actuariel
mensuel équivalent de 0,5%.
. Signature du contrat le 01.01.2006
. Premier versement le 01.02.2006
. Fin du contrat et dernier versement le 01.01.2006+n
La valeur future de ce placement est de 142 739,90. Calculer n.
Il s'agit de versements à termes échus.
Donc Vf = 1 000 + 1 000 (1 + Tm) + 1 000 (1 + Tm)2 + .... + 1 000
(1 + Tm)12n-1
(1 + Tm)12n-1 au premier versement 01.02.2006 ; Tm est le taux
mensuel équivalent ))
Soit après factorisation
Vf = 1 000
Vf = 1 000 = 1000 (
Donc 142 739,90 = 1000 ( soit = 142,7399
Et 1,00512n = 0.5% ( 142,7399 + 1
D'où 12n = ln(0.5% ( 142,7399 + 1) / ln (1,005) soit n = 9
. Exercice 11 : Valeur actuelle et calcul de n M. Dupont verse chaque 1er janvier et pendant n ans la somme de 10 000
(premier versement le 01.01.N+1) sur un compte ouvert le 01.01.N rémunéré
au taux de 4%. La valeur actualisée au taux de 4% des versements réalisés
par M. Dupont est de 93 850,74. Calculer n.
Vactuelle = 10 000 = 93 850,74 donc 1 - 1,04-n =
Et 1,04-n = 1 - soit - n = );ln(1,04)))
Après calcul n = 12.
. Exercice 12 : Valeur actuelle et calcul de n M. Dupont verse chaque 1er janvier et pendant n ans la somme de 10 000
(premier versement le 01.01.N) sur un compte ouvert le 01.01.N rémunéré au
taux de 5%. La valeur actualisée au taux de 5% de versements réalisés par
M. Dupont est de 118 377,70 . Calculer n. Vactuelle = 10 000 1,05 ( = 118 377,70
1 - 1,05- n = soit 1,05- n = 1 -
- n = ) ; ln (1,05))) et donc n = 17.