Amérique du Sud 2004

Amérique du Sud 2004 Exercice 1 Mouvements plans (4pts) Calculatrice autorisée 1.1. Le projectile est soumis uniquement à son poids.
D'après la deuxième loi de Newton: [pic]= m.[pic]
soit m.[pic]= m.[pic]
donc [pic]= [pic]
Ainsi l'affirmation est vraie, le vecteur accélération [pic] du centre
d'inertie du projectile ne dépend pas des conditions initiales.
1.2. D'après le 1.1. on a [pic]= [pic]
Par projection suivant l'axe vertical Oz, aGZ = - g
Or aGZ = [pic] donc vGZ = - g.t + V0z soit vGZ = - g.t + V0.sin
(
vGZ varie au cours du temps, donc le mouvement du projeté de G suivant
l'axe vertical Oz n'est pas uniforme.
Affirmation fausse. 1.3. Il faut établir l'équation de la trajectoire de G. axG = 0 vxG = v0x = V0.cos ( xG =
(V0.cos().t
[pic] [pic] [pic]
azG = - g vZG = -g.t + V0.sin ( zG = -
[pic].g.t² + (V0.sin().t on peut écrire que t = [pic], on remplace cette expression dans
l'expression de zG
zG = - [pic].g. ([pic])² + (V0.sin().[pic]
zG = - [pic].g. ([pic])² + xG.tan (
Cette équation de trajectoire correspond effectivement a une parabole sauf
si ( = 90°
La proposition est donc fausse. Si ( = 90° axG = 0 vxG = v0x = V0.cos ( = 0 xG = 0
[pic] [pic] [pic]
azG = - g vZG = -g.t + V0.sin ( zG = -
[pic].g.t² + V0.t
vZG = -g.t + V0
Alors la trajectoire serait un segment de droite verticale. 1.4. On reprend les coordonnées du vecteur position établies en 1.3. avec (
= 0 (vecteur vitesse initiale horizontal)
xG = (V0.cos().t xG = V0.t
[pic] soit [pic]
zG = - [pic].g.t² + (V0.sin().t zG = - [pic].g.t²
Lorsque zG = - H alors le projectile touche le sol, ceci a lieu à l'instant
noté tS
-H = - [pic].g.tS²
soit tS² = [pic] donc tS = [pic]
On calcule alors l'abscisse xG à cet instant: xG = V0.tS
xG = V0. [pic]
L'affirmation est vraie. 2.1. La force gravitationnelle exercée par la Terre sur le satellite a pour
expression:
FT(S = G. [pic]
soit G = [pic]
procédons à une analyse dimensionnelle
tout d'abord pour la force FT(S: d'après la seconde loi de Newton FT(S =
m(a
[F] = [M]( [pic]
donc [G] = [M]( [pic] ( [L]² ( [M]-1 ( [M]-1
[G] = [pic]( [M]-1
G s'exprime en m3.s-2.kg-1
L'affirmation est fausse. 2.2. D'après la deuxième loi de Newton : [pic]= m.[pic]
La seule force subie par le satellite est la force [pic] exercée par la
Terre.
Or cette force a pour direction une droite passant par le centre de la
Terre et son sens est orienté du satellite vers le centre de la Terre.
Donc effectivement, [pic] est centripète.
L'affirmation est vraie. 2.3. [pic]= m.[pic]
Soit un vecteur [pic] mobile dont la direction est une droite joignant le
centre du satellite au centre de la Terre et le sens est orienté du
satellite vers la Terre.
Alors [pic]= [pic][pic]
[pic] = m. [pic][pic]
Par projection on obtient FT(S = m.[pic]
G. [pic] = m.[pic]
G. [pic]= V² soit V = [pic] Proposition vraie 2.4. Le satellite effectue une révolution en une durée T.
Il parcourt sa trajectoire supposée circulaire de longueur égale à 2((RT+h)
pendant une durée T et ce à une vitesse supposée constante de valeur V =
[pic]
V = [pic] = [pic]
T = [pic]
T² = [pic] = [pic]
T² = [pic]
T² = 6,98(108 (valeur non arrondie à utiliser pour accéder à T)
donc T = 2,64(104 s
La proposition est vraie.