Correction exercices 7,11 et 18 p

Correction exercices 18,19,22, 24 et 26 p.328-329 + exercice 5 p.348 Exercice 18 Dans cet exercice, on néglige les frottements. Sur le mobile s'exercent :
- le poids,
- la réaction normale du support,
- la force de rappel élastique du ressort [pic] orientée vers la droite.
- La force exercée par l'opérateur [pic] orientée vers la gauche.
Ces deux forces ne sont pas constantes, elles augmentent au cours du
trajet.
Soit [pic] le travail fourni au solide par l'opérateur.
D'après le théorème de l'énergie cinétique appliqué au ressort dans le
référentiel terrestre :
[pic]
Or [pic] et [pic] sont nuls puisque la réaction normale du support et le
poids du mobile sont perpendiculaire au déplacement.
De plus, [pic] puisque le mobile part d'une vitesse nulle et arrive avec
une vitesse nulle.
Donc : [pic].
Or, on sait que le travail de la force de rappel du ressort s'écrit [pic]
puisque le travail de la force de rappel du ressort est résistant (dans le
sens contraire du mouvement).
Donc, en définitive :
[pic] A.N : [pic] 1,6.10-2 J.
C'est un travail moteur, donc positif : l'opérateur déplace le mobile, il
lui communique de l'énergie de mouvement qui est ensuite transférée au
ressort par le travail résistant de la force de rappel. b. Par définition, [pic] donc : [pic] 1,6.10-2 J.
c. Le ressort va pousser le mobile qui accélère jusqu'à la position
d'équilibre, puis le mobile poursuit son mouvement par son inertie mais il
est alors rappelé par le ressort qui s'étire, le mobile ralentit alors
jusqu'à s'arrêter et repartir dans l'autre sens en accélérant.
Ce mouvement se reproduit à l'identique au cours du temps : le mobile
oscille donc autour de sa position d'équilibre. Le système solide-ressort a accumulé de l'énergie potentielle élastique
grâce au travail moteur de l'opérateur.
Lors du mouvement, les frottements sont négligés : l'énergie mécanique du
système va rester constante et égale à l'énergie potentielle élastique
initialement accumulée.
Exercice 19 a. Considérons de façon générale un objet de masse m soulevé par une force
constante d'une altitude zi vers une altitude zf dans le référentiel
terrestre.
L'objet part d'une vitesse nulle et arrive avec une vitesse nulle.
D'après le théorème de l'énergie cinétique : [pic]
Or, [pic] puisque la vitesse n'a pas varié.
Donc : [pic]
Le travail de la force [pic]a fourni de l'énergie
à l'objet afin qu'il compense la perte d'énergie
due au travail résistant du poids.
Donc, d'après la conservation de l'énergie, le système {objet en
interaction avec la Terre}, a gagné une énergie appelée énergie potentielle
de pesanteur telle que :
[pic]
Donc : [pic] soit : [pic]. L'énergie potentielle de pesanteur à l'altitude z à donc pour expression :
[pic] , définie à une constante près. On choisit Epp = 0 pour z = 0. D'après l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur, celle-ci
augmente lorsque l'altitude augmente. Or, l'objet est lancé, donc son
altitude augmente dans un premier temps puis diminue.
La courbe de l'énergie potentielle de pesanteur est donc la courbe 1. b. Dans la situation étudiée, une balle est lancée : il n'y a donc que le
poids appliqué sur le système balle, qui est en chute libre. D'après le
théorème de l'énergie cinétique appliqué à la balle lancée :
[pic]
Donc : [pic]. Or, on vient de montrer que [pic] : on a donc [pic]. Soit : [pic] et donc : [pic] Posons : [pic] . On a donc : [pic].
Em est une quantité d'énergie qui ne varie pas pour un système en chute
libre, c'est l'énergie mécanique de ce système. Par conséquent, [pic] . Il s'agit de la courbe 2 qui est constante. De l'expression [pic] on tire : [pic]. Lorsque l'énergie potentielle
augmente, l'énergie cinétique diminue et inversement. La courbe de
l'énergie cinétique est la courbe 3.
Exercice 22 a. Les forces exercées sur le système flèche sont :
- le poids vertical descendant,
- la réaction normale du support verticale vers le haut,
- la force de rappel élastique du ressort [pic] orientée vers la droite.
Le texte indique que les frottements sont négligés. Le mouvement de la flèche est horizontal, donc, d'après la 1e loi de
Newton, les forces se compensent dans la direction verticale. Ainsi, [pic]. D'après la 2e loi de Newton appliquée au système flèche dans la référentiel
terrestre considéré comme galiléen :
[pic]
Or, [pic] en prenant l'origine du repère à la position d'équilibre du
solide.
Donc, en projetant sur l'axe xx' :
[pic]
Or, [pic] et [pic], d'où :
[pic] b. Ecrivons l'équation différentielle sous la forme : [pic], ce qui permet
d'écrire, en multipliant par [pic] de chaque côté : [pic] Soit : [pic] et par conséquent : [pic]
La quantité [pic] est donc constante au cours du mouvement : c'est
l'énergie mécanique du système solide-ressort. Donc : [pic] c. La situation permet de comprendre que le ressort initialement comprimé
de xmax = 15 cm se détend et propulse la flèche : une fois le ressort
arrivé à sa longueur à vide à l'état final, la force de rappel devient
nulle et la flèche a alors atteint sa vitesse maximale, elle poursuit son
mouvement par inertie. Par conséquent, en écrivant la conservation de l'énergie mécanique du
système solide-ressort entre ces deux états : [pic] soit : [pic]
D'après ce qui précède, l'énergie cinétique initiale est nulle et l'énergie
potentielle élastique finale est nulle donc :
[pic] soit :
[pic]
On vérifie l'homogénéité de cette expression : [pic] est homogène à un
temps donc son inverse est homogène à l'inverse d'un temps, on retrouve
bien les dimensions d'une vitesse puisque xmax est homogène à une distance. A.N : [pic]9,9 m.s-1.
10 m par seconde est une vitesse honorable pour un pistolet à flèche. De
quoi percer l'?il du chien de la voisine.
Exercice 24 Dans cet exercice, le graphique présenté à la question c représente
l'accélération au cours de la position.
En effet, la notation [pic] est équivalente à [pic].
Le repère choisi est donc un repère Oyz, Oy étant l'axe horizontal ici. a. Les forces exercées sur le système flèche sont :
- le poids vertical descendant,
- la réaction normale du support verticale vers le haut,
- la force de rappel élastique du ressort [pic] orientée vers la droite.
Le texte indique que les frottements sont négligés. Le mouvement de la flèche est horizontal, donc, d'après la 1e loi de
Newton, les forces se compensent dans la direction verticale. Ainsi, [pic]. D'après la 2e loi de Newton appliquée au système flèche dans la référentiel
terrestre considéré comme galiléen :
[pic]
Or, [pic] en prenant l'origine du repère Oyz à la position d'équilibre du
solide.
Donc, en projetant sur l'axe Oy :
[pic]
Or, [pic] et [pic], d'où :
[pic] b. La relation [pic] indique que l'accélération du solide est
proportionnelle à sa position par rapport à l'origine (à l'équilibre).
Donc, au cours d'une oscillation :
- L'accélération augmente de la position d'étirement extrême du ressort
vers sa position d'équilibre ;
- L'accélération diminue ensuite jusqu'à s'annuler de la position
d'équilibre du ressort vers sa position de compression extrême ;
- L'accélération augmente de nouveau de la position de compression extrême
du ressort vers sa position d'équilibre ;
- L'accélération diminue ensuite jusqu'à s'annuler de la position
d'équilibre du ressort vers sa position d'étirement extrême ; L'équation différentielle indique que l'accélération est proportionnelle à
la position : [pic]
Donc, si l'on trace l'accélération en fonction de la position, on obtient
une droite décroissante de coefficient directeur [pic]. Donc :[pic]
C'est une deuxième méthode de détermination de la constante de raideur d'un
ressort, appelée méthode dynamique (par opposition à la méthode statique). D'après le graphique, on trouve : [pic]-67 s-2 On en déduit donc : [pic]= 15 N.m-1. 2. Aspect énergétique. a. D'après le théorème de l'énergie cinétique appliqué au système solide
dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen :
[pic]
Or [pic] et [pic] sont nuls puisque la réaction normale du support et le
poids du mobile sont perpendiculaires au déplacement.
Donc : [pic] Soit : [pic]
Or, le travail de la force de rappel élastique est, entre deux états
quelconques, [pic].
Donc : [pic] soit : [pic] La quantité [pic] est donc constante pour l'ensemble solide-ressort au
cours du mouvement : c'est l'énergie mécanique du système solide-ressort. D'après le graphique, le mobile ne cesse d'accélérer de la position ymax =
- 40 cm où la vitesse est nulle (puisque l'accélération est maximale, donc
le ressort entièrement étiré ou comprimé) jusqu'à la position yf = 0. La
vitesse est donc maximale en yf.
D'après la conservation de l'énergie mécanique, [pic] soit : [pic]
Donc : [pic] A.N : [pic]0,33 m.s-1.
b. De la relation : [pic] on tire : [pic] soit : [pic]
Il y a donc transfert d'énergie cinétique en énergie potentielle élastique,
et inversement. c. Si le régime est pseudo-périodique, on ne peut plus négliger la force de
frottement et alors : [pic] soit : [pic] d'où [pic]
Par conséquent : [pic] soit : [pic]
Or [pic] puisque la force de frottement est opposée au mouvement.
Donc l'énergie mécanique du système diminue. L'énergie mécanique est
dissipée en chaleur par le travail de la force de frottements : le travail
est un mode de transfert de l'énergie. [pic] soit : [pic]
Or , lorsque l'allongement du ressor