1 Importance du régime sinusoïdal - Physique-appliquee.net

Circuits linéaires en régime sinusoïdal
Importance du régime sinusoïdal . La plus grande partie de l'énergie électrique est produite sous forme de
courant alternatif sinusoïdal ;
. Les fonctions sinusoïdales sont simples à manipuler mathématiquement et
électriquement ;
. Toute fonction périodique de forme quelconque peut-être décomposée en une
somme de signaux sinusoïdaux.
Fonction sinusoïdale
1 Définitions . Définition
Une tension sinusoïdale est une grandeur périodique et alternative
pouvant s'écrire sous la forme :
[pic] t est le temps en secondes (s)
( est la pulsation en radians par seconde (rad.s-1) ;
[pic] est la phase instantanée en radians (rad) ;
[pic] est la phase à l'origine en radians (rad).
. Valeur moyenne
[pic] car il s'agit d'une fonction alternative
Remarque : la valeur moyenne peut encore s'écrire sous la forme [pic]
. Valeur efficace
la valeur efficace d'une grandeur sinusoïdale est : [pic]
où UM est la valeur maximum du signal.
. Période
Par définition T est telle que [pic] ou k = 1, 2, 3, ...
ce qui conduit à : [pic] ou avec la fréquence : [pic]
2 Exemple | |[pic] |
|[pic] | |
| |Relevé graphique de (u : |
|De cette équation ou de la courbe on peut|Une période correspond à un |
|en déduire : |tour du cercle |
|[pic] |trigonométrique. |
| |T ( 2( |
|[pic] |(t ( (u |
| | |
|[pic] |[pic] |
| | |
|[pic] |Remarquer le sens de mesure |
| |(t. |
|[pic] | |
| | |
|[pic] | | Représentation de Fresnel La représentation de Fresnel est une représentation vectorielle des
grandeurs sinusoïdales.
1 Représentation d'un vecteur
|En coordonnées cartésiennes il faut la | |
|position (x; y) de son extrémité par rapport à|[pic] |
|son origine. | |
|[pic] | |
| | |
|En coordonnées polaires, il faut sa longueur | |
|et l'angle qu'il fait avec un axe d'origine. | |
|[pic] | |
2 Représentation de Fresnel
Toute grandeur sinusoïdale (tension ou courant) sera représentée par un
vecteur de longueur sa valeur efficace et d'angle sa phase à l'origine. Considérons un dipôle Z traversé par un courant i et ayant entre ses bornes
une tension u. [pic] |Pour la tension : [pic] |[pic] |
| | |
|Pour le courant : [pic] | |
| | |
|Différence de phase : [pic] | | |Si on prend le courant I comme origine des | |
|phases la représentation se simplifie. |[pic] |
| | |
|[pic] | |
| | |
|[pic] | | ? (phi) représente le déphasage de i par rapport à u. En représentation de Fresnel, ? est l'angle allant de i vers u. Remarque : il n'est pas nécessaire de représenter la phase instantanée
[pic] puisque dans un circuit électrique, toutes les grandeurs
électriques auront la même pulsation ?. La seule partie qui
change pour les différentes tensions et courants, ce sont la
valeur efficace et la phase à l'origine ?. Remarque : le déphasage ? dépend du dipôle et de la pulsation (
3 Loi des mailles en représentation de Fresnel
|Exemple : |[pic] | Loi des mailles instantanée : [pic] avec [pic]
et [pic] [pic] Remarque : u à la même période que u1 et u2. Loi des mailles vectorielle : [pic] avec [pic]
et [pic] [pic] |[pic|En aucun cas il ne faut faire la somme algébrique des valeurs |
|] |efficaces U1 et U2. |
| |[pic] (voir la construction vectorielle ci-dessus). | . Remarque : il en va de même pour la loi des noeuds. Puissances en régime sinusoïdal . Puissance instantanée
La puissance électrique est le produit de la tension par le courant. [pic] et [pic] [pic] Pour réarranger les termes, on utilise la relation trigonométrique ci-
dessous : [pic] d'où [pic] Finalement [pic] On constate que la puissance instantanée est la somme d'un terme
constant [pic] et d'un terme variant périodiquement [pic]. . Puissance active
La puissance active est la moyenne de la puissance instantanée. La
valeur moyenne du terme périodique est nulle (c'est une fonction
périodique alternative). Il reste donc le terme constant.
[pic]
U : valeur efficace de la tension (V) ;
I : valeur efficace du courant (A) ;
? : déphasage entre u et i (rad).
Unité : le watt (W). . Puissance réactive
La puissance réactive est une invention mathématique pour faciliter
les calculs.
[pic]
Unité : le voltampère réactif (VAR) . Puissance apparente
La puissance apparente ne tient pas compte du déphasage entre u(t) et
i(t).
[pic]
Unité : le voltampère (VA). . Triangle de puissance En observant les relations ci-dessus on constate que :
[pic] Ce qui peut être schématisé par le diagramme de Fresnel des puissances :
[pic] Remarque : seule la puissance active à une réalité physique.
La puissance réactive ne correspond à aucune puissance réelle. 1. Autres relations |[pic] |et |[pic] |
Les dipôles passifs linéaires . La résistance (voir tableau)
. La bobine parfaite (voir tableau)
. Le condensateur parfait (voir tableau)
| |Résistance R |Inductance L |Capacité C |
|Schéma |[pic] |[pic] |[pic] |
|Equation |[pic] |[pic] |[pic] |
|fondamentale | | | |
|Impédance Z (?) |[pic] |[pic] |[pic] |
|Admittance Y (S) |[pic] |[pic] |[pic] |
|Relation entre |[pic] |[pic] |[pic] |
|les valeurs | | | |
|efficaces | | | |
|Déphasage ? (rad)|[pic] |[pic] |[pic] |
|Représentation de|[pic] |[pic] |[pic] |
|Fresnel | | | |
|Puissance active |[pic] |0 |0 |
|P (W) | | | |
| |R absorbe P | | |
|Puissance |0 |[pic] |[pic] |
|réactive | | | |
|Q (VAR) | |L absorbe Q |C fournit Q | . La bobine réelle
La résistance du fil de cuivre dont est composée la bobine n'est en
réalité pas négligeable. D'où la modélisation d'une bobine réelle par une
résistance en série avec une inductance parfaite :
[pic]
Z est l'impédance de la bobine (en Ohms ; ?).
Il faut connaître l'expression de Z en fonction de r et L. [pic] ( est la pulsation en rad.s-1 (démonstration en exercice) . Le condensateur réel
Le condensateur réel ne s'éloigne du condensateur parfait que pour
les très hautes fréquences (( > 1 MHz) .
Nous considérons ici que le condensateur est parfait. Théorème de Boucherot
1 Théorème Les puissances active et réactive absorbées par un groupement de dipôles
sont respectivement égales à la somme des puissances actives et réactives
absorbées par chaque élément du groupement.
2 Exemple [pic] . Puissance instantanée [pic] . Puissance active [pic] . Puissance réactive [pic] [pic] Le théorème de Boucherot n'est pas valable pour la puissance
apparente.
Facteur de puissance
1 Définition . Définition générale [pic]
Sans dimension. . Cas particulier du régime sinusoïdal [pic] soit [pic]