Devoir surveillé N°8. - Free

Fénelon Sainte-Marie. Physique. PCSI. 06/07. Durée : 2 heures. Devoir surveillé N°8. Les candidat(e)s veilleront à exposer leurs raisonnements avec clarté et
précision, rédiger avec soin dans un français correct, et reporter les
numéros des paragraphes et sous paragraphes dans la marge pour chaque
question. Il sera tenu compte de cela lors de la correction. Il est demandé
de justifier clairement les relations utilisées et les réponses. Toute
réponse non justifiée ne sera pas prise en considération.
Tous les résultats littéraux ou numériques devront être encadrés. Toutes
les grandeurs physiques seront exprimées en fonction des paramètres du
problème (ou des paramètres spécifiés) et simplifiées à l'extrême. Exercice 1. Production de froid. (Extrait CCP 2006)
Données et notations:
Les températures T sont en Kelvin, ? en degrés Celsius. [pic].
Rapport des coefficients thermiques molaires, respectivement isobare et
isochore, pour un gaz diatomique, constant dans le régime de température
considéré : ? = Cp,m/Cv,m = 7/5 = 1,40.
Constante des gaz parfaits : R = 8,31 J.mol-1.K-1.
1 bar = 105 Pa. 1. Détente simple.
Le diazote est assimilé à un gaz parfait diatomique.
1. Donner la relation entre pression P, volume V et température T d'une
mole de diazote N2 (équation d'état).
2. Que vaut la variation d'énergie interne [pic]d'une mole de N2 entre
[pic]?
3. Une mole de N2 préalablement comprimée à la pression de Pi = 50
bars, et à la température
? i = 25°C, subit une détente adiabatique, brutale et irréversible.
La détente s'effectue contre une pression extérieure constante Pe =
1 bar. En fin de détente, la pression du gaz est de Pe = 1 bar.
Calculer la température ? f du gaz en fin de détente, en degrés
Celsius et en Kelvin.
4. A partir de l'expression de dU pour une détente adiabatique
réversible, déterminer une relation entre P et T (loi de Laplace).
Déterminer la température [pic] que l'on aurait obtenue après cette
détente adiabatique réversible de 50 à 1 bar.
2. Détente de Joule-Thomson
Un gaz parfait s'écoule à débit massique constant à travers une paroi
poreuse, et sa pression chute d'une valeur Pi en amont, à une valeur Pf en
aval de la paroi poreuse. Le tube dans lequel s'effectue la détente est
calorifugé, de sorte que les échanges d'énergie thermique avec
l'environnement sont négligeables. On démontre que la détente de Joule-
Thomson est isenthalpique, c'est-à-dire que l'enthalpie d'une masse donnée
de gaz ne change pas après avoir traversé la paroi poreuse. On se place en
régime permanent, avec un débit massique constant.
1. Définir l'enthalpie H d'une mole de gaz diatomique et exprimer sa
valeur en fonction de R et T. Comment évolue la température du gaz
qui se détend ? 3. Fluide de Van der Waals.
Une mole de fluide de Van der Waals monoatomique est caractérisée par une
équation d'état :
[pic] ;
son énergie interne est :
[pic]
avec V volume, P pression, T température, R constante des gaz parfaits.
1. Interpréter physiquement les paramètres a et b.
Déterminer l'enthalpie H(V, T) fonction du volume et de la
température.
2. Une transformation élémentaire [pic]se fait à enthalpie constante.
Calculer le rapport dT/dV en fonction des dérivées partielles de
H(V, T). En déduire une expression pour la dérivée partielle [pic] à
enthalpie constante. Exprimer le résultat pour le gaz de Van der
Waals.
3. Pour décrire la détente de Joule-Thomson, il faut déterminer la
dérivée[pic], qui découle de l'expression de H(P, T), enthalpie
fonction de la pression et de la température. On admet la relation :
[pic]
Rappeler la définition du coefficient de compressibilité isotherme
[pic] d'un gaz. En déduire le signe de [pic]. On ne demande pas de
calculer ce terme.
En admettant que le dénominateur de l'expression ci-dessus reste
positif, montrer que pour un volume donné, il existe une température
Tinv(V) pour laquelle [pic] s'annule en changeant de signe.
Calculer cette température d'inversion. En déduire que pour T < Tinv
la détente de Joule-Thomson s'accompagne d'un abaissement de la
température.
4. Calculer la température d'inversion Tinv, He pour le modèle de Van
der Waals de l'hélium :
[pic]
La valeur expérimentale est de l'ordre de 40K. Cet effet est mis à
profit dans les procédés de liquéfaction de l'hélium. Exercice 2. Rayonnement gravitationnel par un système de deux étoiles à
neutrons. (Extrait E3A 2006)
Parmi les sources d'ondes gravitationnelles, on distingue dans cet exercice
l'effondrement d'un système binaire d'étoiles à neutrons. On étudiera les
aspects mécaniques de ce phénomène, dans le cadre simplifié de la dynamique
newtonienne. Le référentiel d'étude (R), est supposé galiléen. On note G la
constante de la gravitation universelle ; [pic]. 1. Système binaire : Point matériel fictif.
On considère l'ensemble formé par deux étoiles A1 et A2, de masses
identiques M, en interaction gravitationnelle. Cet ensemble est supposé
mécaniquement isolé. 1. Justifier que le barycentre B des deux étoiles est animé dans (R)
d'un mouvement rectiligne uniforme (la norme de sa vitesse dans (R)
sera notée vB).
2. Définir le référentiel barycentrique (R*) du système des deux
étoiles.
Ce référentiel est-il galiléen ?
3. Montrer que, dans le référentiel barycentrique, le mouvement du
point F défini par [pic] est celui d'un point matériel fictif, qui
est soumis à la même force que celle qui agit sur A2 et dont on
exprimera la masse µ en fonction de M.
4. Dans le référentiel barycentrique, le point F est animé d'un
mouvement circulaire de rayon R de centre B. Déterminer la vitesse
angulaire ? de ce mouvement en fonction de G, M et R.
Soit un système de deux étoiles à neutron de masses M = 2,8.1030 kg. Peu de
temps avant l'effondrement, elles ont une période de rotation très faible T
= 0,1 s. 5. Déterminer numériquement la distance qui sépare ces deux étoiles.
6. Déterminer la norme de la vitesse vA des étoiles dans le référentiel
barycentrique.
7. Décrire les trajectoires des deux points A1 et A2 dans le
référentiel barycentrique. Illustrer à l'aide d'une représentation
graphique. 2. Energie mécanique du système.
2.1 Exprimer l'énergie cinétique dans (R) du système des deux étoiles
en fonction de M, vB et de l'énergie cinétique Ec * du système dans
son référentiel barycentrique.
2.2 Dans le cas où le mouvement de F est circulaire dans le
référentiel barycentrique, exprimer l'énergie cinétique Ec* du
système des deux étoiles en fonction de ? , M et R.
2.3 Exprimer l'énergie mécanique Em du système des deux étoiles dans
le référentiel (R ) , en fonction de M, G, R et vB .
3. Effondrement du système binaire.
Le système binaire des deux étoiles A1, A2 est la source d'ondes
gravitationnelles, qui transportent une certaine énergie. Un calcul de
relativité générale montre que la puissance ainsi « rayonnée » s'écrit,
dans le référentiel (R) : Pog = K M2R4? 6, où K est une constante
s'exprimant en fonction de G et c (vitesse de la lumière dans le vide) sous
la forme : K= 8G/5c5
L'émission de ces ondes n'affecte pas la vitesse vB du barycentre. Du point
de vue mécanique, l'émission des ondes gravitationnelles peut être
modélisée par une force non conservative agissant sur le système des deux
étoiles, avec une puissance -Pog 3.1 Qu'est ce qu'une force non conservative ? Quelle relation existe-
t-il entre dEm/dt et Pog ?
Quelle est la conséquence de cette perte d'énergie sur la distance R
entre les deux étoiles? Le rayon R de la trajectoire est désormais considéré comme une fonction
R(t) du temps et il est admis que l'expression Em de l'énergie mécanique
déterminée au 2.3. reste valable.
2. Montrer que R varie selon une loi : dR/dt = - ? /R3 et exprimer ?
en fonction de K, G et M.
3. Au temps t = 0, la distance entre les étoiles est R(t = 0) = Ro.
Déterminer R(t)en fonction de Ro, t et a.
Représenter graphiquement l'allure de la trajectoire de l'une des
deux étoiles dans le référentiel barycentrique Les deux étoiles à neutron sont assimilées à des sphères de diamètre (très
faible) a = 20 km.
4. Déterminer, en fonction de Ro, a et ? le temps tc au bout duquel
les deux étoiles entrent en contact. Exprimer en fonction de G, M et
a, la vitesse angulaire de rotation ?c atteinte par le système à
l'instant tc.
Application numérique : Calculer tc et ?c sachant que Ro = 4, 6.105
m et M = 2,8.1030 kg.
5. Justifier que le modèle précédent n'est valable que si la condition
|dR/dt|