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Exercices de révision
Olivier Levyne (2009)
Docteur en Sciences Economiques
HDR en Sciences de Gestion
Professeur des Universités
Exercice 1 Un investisseur souscrit à l'émission d'un billet de trésorerie dont les
caractéristiques sont les suivantes : - Nominal : 5 ME - Taux facial : 3,2% - Durée de vie : 9 mois L'investisseur doit revendre son titre au bout de 45 jours. A cette date,
le taux de référence du marché monétaire est de 3,9%. 1. Déterminer le prix de revente du titre 2. Calculer le taux de rendement effectif du placement de l'investisseur Exercice 2 Un particulier obtient de sa banque une proposition de crédit de 100 000 E
au taux nominal de 4,9%, remboursable par mensualités constantes. 1. Calculer le taux mensuel 2. Quel taux la banque lui aurait-elle annoncé pour un remboursement par
annuités constantes, par trimestrialités constantes, par semestrialités
constantes 3. Calculer le taux continu équivalent 4. Etablir le tableau d'amortissement dans l'hypothèse de semestrialités
constantes sur 5 ans. On précise que le taux d'ADI est de 0,45%
Exercice 3 Une entreprise émet, le 8 avril 2007, un emprunt obligataire de 30 ME
composé de 30 000 obligations d'une valeur nominale de 1000 E. Leur taux
facial est de 4,5%. La durée de vie de cet emprunt est de 5 ans. 1. Présenter le tableau d'amortissement de l'emprunt, dans chacun des 3
cas suivants : remboursement in fine, amortissements constants et
annuités constantes. 2. Déterminer, dans chacun des 3 cas la duration et la sensibilité de
l'obligation 3. Finalement l'entreprise décide de procéder par remboursement in fine.
A la fin de la première journée de cotation, le taux de référence du
marché obligataire est porté de 4,50% à 4,51%. Calculer la nouvelle
valeur de l'obligation et la variation relative de son prix. 4. Retrouver le résultat de la question 3 à l'aide du résultat de la
question 2. 5. Un souscripteur décide, le 10 février 2009 de revendre une obligation.
A cette date, le taux de référence du marché obligataire est égal à
3,9%. Déterminer le prix de revente du titre 6. Le 10 février 2009, l'obligation est cédée pour 1085 E. Expliquer,
formules et syntaxe à l'appui, comme déterminer, à l'aide d'Excel, le
TAB pour l'investisseur. 7. En déduire numériquement le TAB (cette question ne serait pas posée
lors d'un partiel) Exercice 4 Une entreprise envisage l'acquisition d'une usine pour 3 ME. Cette usine
lui permettrait de générer, chaque année, pendant les 8 ans à venir, un
cash flow de 1 ME par an. Sur la base d'un taux d'actualisation de 10%
1. Calculer la VAN de cet investissement 2. Ecrire la formule permettant de déterminer le TIR de cet investissement 3. En déduire numériquement le TIR (cette question ne serait pas posée
lors d'un partiel)
Corrections
Exercice 1
Soit M le montant perçu par l'investisseur si le TCN est conservé jusqu'à
l'échéance. M correspond au remboursement du principal augmenté des intérêts dus au
titre du placement pendant 9 mois soit 270 jours et calculés selon le
principe de l'intérêt simple. En d'autres termes, à l'échéance,
l'investisseur reçoit une somme égale à la capitalisation au taux de 3,2%
(pro-ratisé sur 270 jours) de son capital initial de 5 000 000 E. Ainsi : M = [pic]= 5 120 000 E 1. Détermination du prix de revente du TCN au bout de 45 jours Soit P ce prix de revente.
P doit être fixé de telle sorte que le rendement qui sera procuré à
l'acheteur soit le même que celui qu'il obtiendrait à partir d'un placement
sur le marché monétaire (soit 3,9%) sur la même période que celle qui reste
jusqu'à l'échéance (soit 225 jours). En outre, dans la mesure où la société émettrice du TCN verse au porteur du
titre la somme de 5 120 000 (déterminée au paragraphe précédent), P
vérifie: [pic]= 5 120 000. Donc : [pic][pic][pic]= 4 998 170 E 2. Détermination du taux de rendement du placement Le souscripteur a finalement placé 5 000 000 E pendant 45 jours et récupéré
4 998 170 E en revendant le TCN. Soit i le rendement de son placement ; i
vérifie : [pic]= 4 998 170 Donc : i = [pic]= -0,29%.
Exercice 2
1) Le taux mensuel est proportionnel au taux nominal. Il est donc égal à : [pic]
2) Dans l'hypothèse d'un remboursement par annuités constantes, la banque
aurait annoncé un taux r équivalent (annuel) au taux nominal i. Dès
lors : [pic]soit : [pic]
Dans l'hypothèse d'un remboursement par trimestrialités constantes, la
banque aurait annoncé un taux nominal i équivalent à r = 5,01%. Dès
lors : [pic]soit : [pic] = 4,92%
Dans l'hypothèse d'un remboursement par semestrialités constantes, la
banque aurait annoncé un taux nominal i équivalent à r = 5,01%. Dès
lors : [pic]soit : [pic]= 4,95%
3) Le taux continu i équivalent au taux discret r = 5,01% vérifie :
i = ln(1+5,01%) = ln1,0501 = 4,89%
4) Tableau d'amortissement
Le taux semestriel i est issu du taux nominal calculé pour des
semestrialités ; i vérifie :
[pic] Par ailleurs, le taux d'ADI indiqué par la banque est un taux nominal,
nécessairement annuel. Il est proportionnel au taux d'ADI semestriel. Soit
i' ce taux ; i' vérifie :
[pic]
La semestrialité constante a vérifie : [pic]E
Le tableau d'amortissement par semestrialités constantes est alors le
suivant :
[pic]
Exercice 3 1. Tableaux d'amortissement de l'emprunt [pic]
[pic]
Dans l'hypothèse d'annuités constantes a, a vérifie : [pic] [pic]
2. Duration et sensibilité
Soit D la duration, S la sensibilité et P le prix de l'obligation. D
vérifie :
[pic] Le numérateur correspond à la somme des termes de la dernière colonne
et le dénominateur à la somme des derniers termes de l'avant dernière
colonne des tableaux ci-après :
[pic] Ici :
[pic]
[pic]
[pic]
Ici :
[pic] [pic] [pic] [pic] 3. Détermination de la nouvelle valeur P' de l'obligation dans
l'hypothèse où le taux de référence du marché obligataire est porté de
4,50%à 4,51%
Il convient pour cela de sommer les annuités (CFt) des tableaux
précédents en les actualisant à 4,51% (au lieu de les actualiser à
4,50%). Cette augmentation de 0,01% du taux d'actualisation va
mécaniquement provoquer une baisse de la valeur de l'obligation qui va
ainsi tomber en deça du nominal (de 1 000 E). En effet :
[pic]
[pic]
[pic]
A noter que le cours de l'obligation est obtenu en divisant la valeur
de l'ensemble de l'emprunt obligataire (qui correspond à la somme des
cash flows actualisés figurant dans la dernière colonne de chaque
tableau ci-avant) par le nombre d'obligations émises (égal à 30 000).
Le tableau ci-après synthétise les variations de cours de l'obligation
lorsque le taux de référence augmente de 0,01% en étant porté de 4,50%
à 4,51% :
[pic]
Les variations de prix en E de l'avant dernière colonne du tableau ci-
dessus peuvent être exprimées en pourcentage du prix initial de 30 ME.
Cette variation en % s'appelle la variation relative du prix et se
note dP/P. Elle est calculée dans la dernière colonne.
4. Vérification de la variation relative du prix P de l'obligation
lorsque le taux de référence du marché obligataire est porté de 4,50%à
4,51%. On sait que : [pic] Donc : [pic] Ici di = variation du taux d'intérêt de référence = 0,01% = 4,51% -
4,50% Et on connaît S dans chacun des cas d'amortissement de l'emprunt
obligataire : - Remboursement in fine : S = -4,39 - Amortissements constants : S = -2,71 - Annuités constantes : S = -2,79
En multipliant chacune des valeurs de S par di, c'est-à-dire par
0,01%, on retrouve alors les valeurs de dP/P de la dernière colonne du
tableau ci-dessus : - Remboursement in fine : dP/P = -4,39x0,01% = -0,0439% - Amortissements constants : dP/P = -2,71x0,01% = -0,0271% - Annuités constantes : dP/P = -2,79x0,01% = -0,0279%
5. Détermination du prix P' de l'obligation lorsque le taux de référence
est de 3,9%. P' correspond à la somme des annuités futures actualisées perçues par
l'acquéreur du titre, le taux d'actualisation étant 3,9%. A la date d'acquisition, le 10/02/2009, il reste 4 paiements à obtenir : - Au 08/04/2009, soit dans 57 jours soit dans 57/365 année = 0,16 année - Au 08/04/2010, soit dans 1 an + 57 jours soit dans 1,16 année - Au 08/04/2011, soit dans 2 ans + 57 jours soit dans 2,16 année - Au 08/04/2012, soit dans 3 an + 57 jours soit dans 3,16 année
On a alors : [pic] NB : le prix P' par obligation (1 055 E) set obtenu en divisant la valeur
de l'ensemble de l'emprunt obligataire (31 660 738 E) par le nombre
d'obligations émises (30 000) 6. Détermination du TAB de lorsque le prix de l'obligation s'établit à
1 085 E
Le TAB est le taux d'actualisation qui permet d'égaliser : - D'une part la valeur de l'obligation (1 085 E) - D'autre part la somme des f