Mathématiques financières - Ensicaen MAE

Applications Mathématiques financières
Exercices non corrigés en cours


MAE formation initiale 2006-2007



Bonjour à tous,

Ci-dessous donc, les applications non traitées lors de nos séances (5, 7,
8, 9, 12, 13, 14, 15, 16 et 17).

Comme convenu, je me mettrai à votre disposition le lundi 15 janvier, fin
d'après-midi, à partir de 17H15, amphi WALRAS pour répondre à toutes vos
questions sur ces exercices, ou sur l'un des points traités en cours.

Je vous souhaite à toutes et à tous de très bonnes fêtes de fin d'année et
une année 2007 harmonieuse et belle.

Fabrice Le Vigoureux





Exercice 5

Présenter le tableau d'amortissement d'un emprunt de 500 000 E, au taux de
7%, remboursable en 4 annuités constantes après un différé d'amortissement
de 2 ans.

Correction :

On a donc 6 annuités. Comme A1 = A2 = 0, les deux premières annuités ne
comprennent que l'intérêt calculé sur le montant de l'emprunt (35000)

Après deux ans, le capital dû est toujours de 500 000. Les quatre dernières
annuités sont donc égales à :

[pic]

|Année |CRD |I |A |a |
|1 |500000 |35000 |0 |35000 |
|2 |500000 |35000 |0 |35000 |
|3 |500000 |35000 |112614,06 |147614,06 |
|4 |387385,94 |27117,02 |120497,04 |147614,06 |
|5 |266888,90 |18682,22 |128931,84 |147614,06 |
|6 |137957,06 |9656,99 |137957,06 |147614,06 |



Exercice 7
La société des Applications Electroniques (SAE) envisage une augmentation
de sa capacité de production par l'achat d'un matériel d'une valeur de 1
000 000 E qui devrait permettre de dégager un revenu de 300 000 E par an
pendant 5 ans.
On admettra que l'acquisition est réalisée le 31 décembre 2003 et que les
revenus sont enregistrés chaque année le 31 décembre, à partir du
31/12/2004.
L'équipement envisagé est amortissable linéairement sur quatre ans. En fin
d'exploitation, on estime qu'il pourrait être revendu 250000 E net
d'impôts. L'entreprise est soumise à l'impôt sur les sociétés (35%). Elle
sera globalement bénéficiaire pour les cinq années à venir.
Déterminer la valeur actuelle nette (VAN) après impôts de cet
investissement pour un taux d'actualisation de 10%, puis son taux de
rendement interne (TIR).

Correction :

Il faut dans un premier temps déterminer les flux nets de trésorerie (FNT)

|Période|Investisseme|Revenus|Amortissemen|Résulta|IS |Revente|FNT |
|s |nt | |t |t | | | |
| |Initial | | | | | | |
|0 |1000000 | | | | | |-100000|
| | | | | | | |0 |
|1 | |300000 |250000 |50000 |17500 | |282500 |
|2 | |300000 |250000 |50000 |17500 | |282500 |
|3 | |300000 |250000 |50000 |17500 | |282500 |
|4 | |300000 |250000 |50000 |17500 | |282500 |
|5 | |300000 | |300000 |105000|250000 |445000 |


Calcul de la VAN :

[pic]

Son taux de rendement interne, TIR, est tel que :

[pic]



Exercice 8

Pour un capital donné, vous avez le choix entre ces placements sur 2 ans,
sans risque. Hiérarchisez les.

1er placement : intérêts composés, capitalisation annuelle, taux annuel de
6%.
2ème placement : intérêts simples, taux annuel de 6,2%.
3ème placement : intérêts composés, capitalisation mensuelle, taux mensuel
de 0,49%.

Correction :

Au terme des deux ans, calculons les valeurs acquises des différents
placements du capital X :

[pic]
[pic]
[pic]

Le 3ème placement est donc le meilleur, suivi du deuxième et enfin du
premier.

Exercice 9

Une entreprise veut créer un fonds d'amortissement pour un emprunt de
800000 E remboursable en une seule fois dans 6 ans.
Combien doit-elle verser à la fin de chaque année après la délivrance de ce
crédit sur un compte rapportant 7% par an pour pouvoir effectuer le
remboursement prévu ?

Correction :

Les 800000E empruntés doivent être remboursés intégralement dans 6 ans. Ils
constituent donc dans ce schéma la valeur acquise d'une suite de 6
annualités constantes au taux de 7%, selon la formule :

[pic] d'où a = 111836,64

Exercice 12

Le 1/6/N, l'entreprise E a contracté auprès de la banque B un emprunt de
950000 E destiné à financer l'aménagement de ses locaux administratifs. Cet
emprunt, au taux annuel de 8,5% est remboursable en 7 ans par annuités
constantes, la première étant versée le 1/6/N+1. Présenter le tableau
d'amortissement de cet emprunt (3 premières lignes et la dernière ligne).

Correction :

|Périodes |Cap. Restant |Intérêt |Amortissement |Annuité |
| |dû | | | |
|1 |950000 |80750 |104850,76 |185600,76 |
|2 |845149,24 |71837,69 |113763,07 |185600,76 |
|3 |731386,17 |62167,82 |123432,94 |185600,76 |
|... |... |... |... |... |
|7 |171060,61 |14540,15 |171060,61 |185600,76 |

Pour la détermination de la ligne 7, il est nécessaire de recourir à la loi
de progression géométrique des amortissements : A7 = A3. (1,085)4


Exercice 13


Une personne place chaque 31 décembre ses économies de l'année, soit 2000 E
à intérêts composés à 5% l'an. Elle pensait pouvoir réaliser ce versement
pendant 20 ans (20 versements).
1. Quelle eût été la valeur acquise au moment du dernier versement ?
2. En fait, à partir du 11ème versement inclus, elle a pu placer chaque
année une somme de 3000 E.
De combien augmentera la valeur acquise au moment du dernier versement ?


Correction :

1. Valeur acquise au moment du dernier versement : 2000 . (1,0520 -1) /
0,05 = 66131,91
2. Augmentation : 1000. (1,0510 - 1) / 0,05 = 12577,89

Exercice 14

Votre espérance de vie est de 37 ans. Vous pouvez placer sans risque au
taux annuel de 3%.
Préférez-vous une rente annuelle, à compter d'aujourd'hui 21 janvier 2005,
jusqu'au 21 janvier 2042 de 4500E, ou un capital unique, versé aujourd'hui,
de 115000E ?


Correction

Calcul de la valeur actuelle de la rente (38 versements), compte tenu d'un
taux d'actualisation de 3% :

[pic]
Cette valeur actuelle est inférieure au capital unique proposé. Il faut
donc préférer le capital de 115000E.
Autre manière de raisonner : la valeur acquise par le capital de 115000E le
21 janvier 2042 sera supérieure à la valeur acquise des 38 versements de
4500E à cette même date. En effet :

[pic]

343301,07>311217,52


Exercice 15


Chaque année, du 1er juillet 1996 inclus au 1er juillet 2005 inclus, un
investisseur verse sur un compte portant intérêts composés, 10 000 E. Les
versements se capitalisent annuellement au taux annuel de 5%.
a. Quel est le capital constitué immédiatement après le dernier versement ?
b. Quel montant l'investisseur peut-il retirer deux ans après le dernier
versement ?
c. Dans l'hypothèse où cinq ans après le dernier versement, on décide de
retirer annuellement 10000 E, du 1er juillet 2010 inclus au 1er juillet
2019 inclus. De quelle somme disposera-t-on sur le compte immédiatement
après le dernier retrait (en tenant toujours compte d'un taux annuel de 5%
pour vos calculs) ?

Correction :

a. Il y a 10 versements.
La valeur acquise le 1er juillet 2005 est donc :
[pic]125778,93

b. Deux ans après le dernier versement : [pic]138671,27

c. En 2019, le capital constitué le 1er juillet 2005 aura « travaillé » 14
ans. A la valeur atteinte le 1er juillet 2019, il convient de soustraire la
capitalisation d'une suite de 10 annuités constantes de 10000E, c'est-à-
dire 125778,93. L'équation est donc la suivante :

[pic]123254,74


Exercice 16


La société COPRA a emprunté le 1er janvier 2004 une somme remboursable par
annuités constantes de 203 362,60 E, la première étant exigible le 1er
janvier 2005. Le premier amortissement est de 143 362,60 E. Le 3ème de 161
082,22 E.
Déterminer, dans l'ordre :
- Le taux de l'emprunt
- Son montant
- Sa durée

Correction :

- Le taux de l'emprunt.

Il s'obtient en référence à la progression géométrique des amortissements.
Puisque nous avons : [pic]6%

- Le montant de l'emprunt

[pic]1000000

- La durée de l'emprunt. Dans la formule suivante, n est l'inconnue.

[pic] . D'où : [pic]6

La durée de l'emprunt est donc de 6 ans.

Exercice 17

Chaque mois, du 28 mars 1998 inclus au 28 mars 2005 inclus, un individu
place 150 E sur un compte portant intérêts composés, à capitalisation
mensuelle, au taux mensuel de 0,40%.

1. Quelle sera la valeur du capital constitué le 28 mars 2005 ?
2. Quel capital unique (alternatif à tous les versements) aurait-il fallu
placer le 28 mars 1998 pour obtenir le même capital constitué le 28 mars
2005 ?
3. Quelle serait la valeur du capital constitué le 28 mars 2005 si aucun
versement n'avait été constaté sur toute l'année 2003 ?

Correction :

Du 28 mars 1998 au 28 mars 2005, 85 versements sont constatés (pour une
durée de 84 mois).

1. Calculons la valeur du capital constitué le 28 mars 2005 :
[pic]

2. Pour répondre à la deuxième question, il convient de calculer la valeur
actuelle de tous les versements au 28 mars 1998 :

[pic]

3. Si on ne tient pas compte des 12 versements de 2003, il faut les
retrancher de la réponse à la question 1, mais dans leur valeur
capitalisée au 28 mars 2005. En d'autres termes, la capitalisation des 12
versements de 2003 doit être retranchée des 15149,82 du 28/12/2003 au
28/03/2