doc - Baudrand

Chapitre VII
probabilités
variables aléatoires à densité
convergences et approximations


Variables aléatoires absolument continues (ou à densité)

1. Utilisation de la fonction de répartition de X pour déterminer la loi de
Y = ((X). On considère une v. a. a. c. X de densité uniforme sur [-1,
1].
l°) Déterminer la loi (c'est-à-dire la densité) de Y = X2 . Application :
on choisit un nombre X au hasard entre -1 et 1 en suivant la loi uniforme
sur [-1, 1]. Déterminer la probabilité que le carré Y de ce nombre soit
supérieur à 1/2. Déterminer a tel que P(Y ( a) = P(Y > a).
2°) Déterminer la loi de Y = eX.
3°)Déterminer la loi de Y = aX + b (a différent de 0).

2. l°) Pour n appartenant à N, on considère In = [pic]. Montrer que
l'intégrale In est convergente. Calculer I0. Exprimer In+1 en fonction
de In et en déduire In en fonction de n.
2°) Pour n appartenant à N, On considère fn(t) = [pic]. Déterminer kn de
façon que fn soit "la" densité d'une certaine variable aléatoire
absolument continue Xn. Préciser alors E(Xn ) et V(Xn).

3. Déterminer a appartenant à R de façon que f : x ( a/(l + x2 ) soit la
densité d'une certaine v.a.a.c X. X admet-elle une espérance ? une
variance ?

4. Déterminer a appartenant à R de façon que f : x ( [pic] soit la densité
d'une v.a. X. Montrer que X admet une espérance (et la calculer), mais
pas de variance.


5. Déterminer a appartenant à R de façon que f : x ( [pic] soit la densité
d'une v.a X. Déterminer alors FX, fonction de répartition de X, E(X) et
V(X).

6. Un point X se promène au hasard à l'intérieur d'une sphère de centre 0
et de rayon R. La probabilité que ce point se trouve dans une portion de
la sphère est proportionnelle au volume de cette portion. Quelle est la
loi de la distance OM ? Espérance de cette v.a. ?

Soit X et Y deux variables aléatoires de loi uniforme sur [0, 1]. On
définit les variable aléatoires
U = inf(X, Y) et V = sup(X, Y) en posant, pour tout x réel :
(U > t) = (X > t) ( (Y > t) ; (V ( t) = (X ( t) ( (Y ( t).
1°) Déterminer la fonction de répartition G, puis une densité g de U.
2°) Déterminer la fonction de répartition H, puis une densité h de U.
3°) Calculer l'espérance de U.
4°) Exprimer U + V en fonction de X et Y. En déduire l'espérance de V.

8. Si vous arrivez à un arrêt de bus à 10 h sachant que le bus arrivera à
un certain instant qui est distribué uniformément entre 10 h et 10 h 30,
quelle est la probabilité que vous deviez attendre plus de 10 minutes ?
Si à 10 h 15 le bus n'est pas arrivé quelle est la probabilité que vous
deviez attendre au moins 10 minutes supplémentaires ?

9. Un homme tirant sur une cible reçoit 10 points si son coup est à moins
de 1 cm du centre de la cible, 5 points s'il s'en éloigne de 1 à 3 cm et
3 points s'il s'en éloigne de 3 à 5 cm. Trouver l'espérance du nombre de
points si la distance au centre de la cible est uniformément distribué
entre 0 et 10.

10. 1°) Une caserne de pompiers doit être construite sur une route de
longueur A (A < (). Si un incendie se déclare en des points uniformément
distribués sur [0, A], où doit être située la caserne pour minimiser
l'espérance de la distance jusqu'au feu ? Autrement dit, trouver a tel
que E((X ( a() soit minimisée lorsque X est distribué uniformément sur
[0, A].
2°) Supposer à présent que la route soit de longueur infinie -
partant d'un point O vers +(. Si la distance d'un incendie au point O
est distribuée selon une loi exponentielle de paramètre (, où doit se
trouver la caserne ? Ici, on cherche à minimiser E((X ( a() où X est
exponentielle de paramètre (.

11. Soit X une variable aléatoire strictement positive et ( un réel
strictement positif. On définit les variables aléatoires U et V par : U
= 1 ( X et [pic].
1. Déterminer les lois de U et de V si X suit une loi uniforme sur ]0,
1].
2. Déterminer la loi de X pour que V suive une loi exponentielle de
paramètre ( ((>0).

Soit X une variable aléatoire de densité f définie par [pic] si x ? 0 et
f(x) = 0 sinon.
a) Vérifier que f est une densité de probabilité.
b) Montrer que Y = X² est une variable aléatoire dont on donnera une
densité.
c) Calculer l'espérance et la variance de Y.

13. 1. Déterminer la fonction de répartition d'une variable aléatoire Y
suivant la loi uniforme sur [0, 1].
Trois personnes ont convenu de se retrouver à la gare pour emprunter le
même train de banlieue.
L'origine des temps est prise à 17 h et l'unité de temps est l'heure.
Pour k appartenant à {1, 2, 3}, on désigne par Yk l'heure d'arrivée de
la personne numéro k. On suppose que les trois variables Yk sont
indépendantes et suivent la loi uniforme sur [0, 1] (ce qui signifie que
les trois personnes arrivent au hasard entre 17 h et 18 h).
2. On note X la variable aléatoire représentant l'heure d'arrivée de la
dernière personne (qui n'est pas forcément la personne numéro 3 !).
a. Soit t un réel appartenant à [0, 1]. Exprimer l'événement ( X ( t
) en fonction des événements
( Y1 ( t) , (Y2 ( t), ( Y3 ( t).
b. En déduire la fonction de répartition de X que l'on notera G.
c. Déterminer une densité de X et l'espérance de X.
3. Les personnes peuvent emprunter trois trains à 17 h 20, 17 h 40 et 18
h (ce qui correspond, dans le repère de temps choisi, aux instants 1/3,
2/3 et 1).
Pour j appartenant à {1, 2, 3} on appelle Ej l'événement : "les
trois personnes prennent le j-ième train ".
Exprimer l'événement Ej à l'aide de la variable aléatoire X puis
calculer sa probabilité.
4. On désigne par A l'événement : " La première personne arrivée attend
moins de 20 minutes avant de monter dans le train avec ses amis".
a. Exprimer les événements A ( E1, A ( E2, A ( E3 en fonction des
variables Y1, Y2, Y3.
b. Déterminer alors la probabilité de A.

14. U désigne une variable aléatoire continue de loi uniforme sur
l'intervalle [0; 1].
1. (a) Donner une densité de U .
(b) Déterminer la fonction de répartition F de la variable aléatoire
U .
(c) Exprimer, en fonction du réel x, la probabilité: P(U > x) .
2. La compagnie des remontées mécaniques a installé deux guichets au
bas des pistes. On estime que le temps de passage d'un skieur à l'un
des guichets suit la même loi que la variable aléatoire U . Trois
skieurs A, B et C se présentent en même temps aux guichets. A et B
s'adressent simultanément aux deux guichets, C attend que A ou B
libère un guichet.
On désigne par:
( U1 et U2 les temps de passage respectifs de chacun des deux skieurs
A et B ,
( V le temps d'attente du skieur C .
On supposera que les variables aléatoires U1 et U2 sont indépendantes.
(a) Justifier que : pour tout x réel, (V > x) = (U1 > x) [pic](U2
> x)
(b) En déduire, pour tout x réel, P(V > x) en fonction de P(U > x) .
(c) Etablir que la variable V admet pour fonction de répartition la
fonction G définie par:
[pic]
(d) En déduire une densité de probabilité g de la variable V.(e)
Montrer que V admet une espérance et une variance que l'on calculera .




Bienaymé-Tchebicheff, convergences, approximations

On rappelle l'inégalité de B.T :
( ( > 0 P( (Y - m ( ( ( ) ( [pic], pour Y v.a quelconque d'espérance
m et de variance (2.
1°) Démontrer que B.T est équivalente à : ( ( > 0 P( (Y - m ( < ( ) ( 1
- [pic].


2°) Soit (Xi)i(N* une suite de v.a deux à deux indépendantes. On suppose
que Xi suit la loi de Bernoulli de paramètre pi, avec 0 ( pi ( 1.
Démontrer:
( ( > 0 [pic]
En supposant les pi égaux entre eux, quel résultat démontrez-vous ?













16. (hec math 2 99, extrait ; voir chap. VIII.) Soit n et s des entiers
supérieurs ou égaux à 2. On considère une urne contenant des boules de
couleur C1, ... , Cs. Les boules de couleur Ci sont en proportion pi. On
a donc [pic] = 1 et on suppose que, pour tout i, pi > 0. On effectue n
tirages successifs d'une boule avec remise. Pour tout i de {1,...,s},on
note Xi la v.a égale au nombre de boules de couleur Ci obtenues à l'issue
des n tirages (on remarque que la variable Xi dépend de n). On définit la
v.a Un par : Un =[pic].
A. Etude des variables Xi.
1) Déterminer la loi de Xi, son espérance et sa variance.
2) Soit (i, j) ( {1,...,s}2 tel que i ( j. Déterminer la loi de Xi + Xj
et sa variance. En déduire que cov(Xi, Xj) = -npipj.
B. On suppose dans cette partie que s = 2.
1) Montrer que Un = Z12 ,où Z1 = [pic]
2) Par quelle loi peut-on approcher la loi de Z1 lorsque n est grand ?
C. On suppose dans cette partie que s = 3 et que p1 = p2 = [pic] e t p3
=[pic].
On pose Z1 =[pic].
1) Montrer que Un = Z12 + Z22. (On utilisera la relation : X1 + X2 + X3 =
n.)
2) Déterminer les espérances et les variances de Z1 et Z2 et cov(Z1, Z2).
3) Par quelle loi peut-on approcher celle de Z1 lorsque n est grand ?

17. (hec 2001, extrait) On réalise une suite de lancers indépendants d'une
pièce de monnaie équilibrée. On associe à cette expérience une suite
(Xn)n(N de variables de Bernoulli indépendantes, définies sur un espace
probabilisé ((, A, P) et suivant la loi de Bernoulli de paramètre 1/2.
Pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on pose Sn = X1 + X2 + ... +
Xn.
1°) déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire Sn. Quelles
sont l'espérance et la variance de Sn ?
2°) a) Montrer que, pour tout réel ( strictement positif, on peut trouver
une constante K( telle que, pour tout entier supérieur ou égal à n, on
ait l'égalité [pic].
b) Déduire de la majoration obtenue que, pour tout réel r vérifiant 0 < r
< 1/2, on a :