Les points importants à prendre en compte par l'enseignant ... - Free

Les connaissances à retenir concernant les grandeurs et leur mesure[1]










Grandeur repérable, grandeur mesurable


Pour savoir si deux objets ont la même longueur ou la même masse, il faut
faire appel à la comparaison. Parfois cette dernière peut se faire
directement en utilisant, par exemple, la superposition, parfois elle se
fait indirectement par l'intermédiaire d'un instrument de mesure. On peut
mettre ensemble (dans une même classe) des objets qui sont aussi longs,
aussi lourds ou qui contiennent la même quantité de liquide. On dit alors
que chacune de ces classes est une grandeur
L'ensemble de ces classes peut être ordonné : du plus court au plus long,
ou du plus léger au plus lourd, ...
Toute grandeur pour laquelle il est possible de définir une relation
d'ordre est une grandeur repérable. . Longueur, aire, masse, volume, durée
sont des grandeurs repérables. La température est aussi une grandeur
repérable.

Une grandeur mesurable est une grandeur pour laquelle on peut définir :
- une équivalence de deux objets de l'ensemble : deux
objets sont équivalents s'ils ont alors la même grandeur. L'expression
grandeur de A = grandeur de B a du sens. - Un
ordre total dans cet ensemble : on peut comparer et ranger tous les objets
de l'ensemble selon cette grandeur. L'expression grandeur de A < grandeur
de B < grandeur de C a du sens. - Une opération interne dans
cet ensemble (+) : la grandeur de deux objets réunis est égal à la somme
des grandeurs de chaque objet : grandeur de (A + B) = grandeur de A +
grandeur de B. - Une opération externe à cet ensemble (x) avec
les nombres positifs : la grandeur d'un certain nombre n d'objets
identiques réunis est égale à n fois la grandeur de l'objet (grandeur de n
objets A = n x de A).

Exemples :
La température n'est pas une grandeur mesurable puisqu'on ne peut pas
définir d'addition : quand on mélange deux liquides ( ce qui peut
correspondre à la réunion de ces liquides) dont les températures sont
différentes, la température du mélange n'est pas égale à la somme des
températures des deux liquides.
Les grandeurs suivantes sont des de grandeurs mesurables :
a) le périmètre d'une surface fermée, c'est la longueur du contour qui
délimite cette surface.
b) l'aire d'une surface plane fermée, c'est la place occupée par cette
surface.
c) le volume d'un solide, c'est la quantité d'espace occupé par le solide.
d) la durée, c'est le temps qui s'écoule entre deux instants


Mesure de grandeurs

Nous établissons une relation entre les grandeurs mesurables et les nombres
sans y réfléchir, et pourtant cette relation n'est pas si simple.
Pour mesurer une grandeur, nous la comparons à une grandeur unité et nous
cherchons à savoir combien de fois cette unité est contenue dans la
grandeur. Cette opération s'appelle le mesurage.
Soit la grandeur u d'un objet U choisie comme grandeur unité. U est alors
appelé un étalon. Soit A un objet dont on veut déterminer la grandeur a en
fonction de u. Dans le cas où u est exactement contenue n fois dans a, on
peut écrire : grandeur de A = n fois grandeur de U, soit a = nu.
Mais le plus souvent, u n'est pas exactement contenue dans a et il y a un
reste, il faudra alors envisager le recours à des sous-unités.
Plus généralement, si a et u sont deux grandeurs mesurables de même nature,
si u est choisie comme unité :
- soit il existe un nombre entier naturel n tel que a = nu (n ? 0)
- soit il existe un nombre rationnel positif q tel que a =qu (q ? 0)
- soit il existe un nombre réel positif r tel que a = ru (r ? 0).
Les nombres n, q, r sont la mesure de la grandeur a, l'unité u étant
choisie.
Dans l'activité de mesurage ce nombre réel sera approché d'aussi près que
l'on veut par un nombre décimal.
Le mesurage sera alors approximatif, il convient de fournir une information
concernant l'incertitude du résultat.
Il faut donc considérer une relation entre un ensemble de grandeurs et
l'ensemble des nombres réels pour définir une mesure.

12 cm désigne une longueur, 12 est un nombre qui est la mesure de cette
longueur lorsque le centimètre est pris comme unit
Remarque : quand on change d'unité, la mesure change.


Les unités de mesure



En France, jusqu'à la fin du XVIIIè siècle, les mesures sont d'une extrême
diversité d'une région à une autre, voire d'un village à un autre dans une
même région. Les noms de ces anciennes mesures sont très imagés et attachés
soit aux dimensions de l'homme soit à ses aptitudes de travail.
Les calculs sont alors compliqués et les erreurs fréquentes. De plus
il y a de nombreuses fraudes et la population en fait les frais. C'est au
moment de la Révolution Française, en 1790 que Talleyrand propose
l'unification des mesures et que l'Assemblée Nationale décide alors la
constitution d'un système unifié de poids et mesures, entreprise qui
s'étalera sur une dizaine d'années. L'étude en est confiée, dans l'Académie
des Sciences, à une commission réunissant des savants tels que Borda,
Lagrange, Lavoisier, Condorcet puis La place et Monge. Le point de départ
est l'unité de longueur. Elle est alors définie comme la dix- millionième
partie du quart du méridien terrestre dont la mesure confiée aux savants
Delambre et Méchain a pris plusieurs années et s'est achevée en 1798. On
donne le nom de mètre à cette unité de longueur, on définit aussi le
décimètre, le centimètre et le millimètre. Peu à peu les unités des autres
grandeurs telles que le poids, la capacité, ou la monnaie sont précisées et
suivent les règles du système des unités de longueur. En 1799, les étalons
définitifs, en platine, du mètre et du kilogramme sont déposés aux Archives
de la République.
Néanmoins, le Système Métrique mettra longtemps à être utilisé par
tous en France et ailleurs. Il faut attendre que Louis Philippe interdise,
sous peine de sanction, l'utilisation d'unités autres que celles du Système
Métrique. Au cours des XIX è et XX è siècles, des systèmes d'unités et des
étalons améliorés sont mis au point et promulgués par des conférences et
conventions internationales, sans remise en cause du principe des
subdivisions décimales.
A l'heure actuelle, deux organisations internationales concourent à la mise
en place des décisions de la Conférence Générale des Poids et Mesures :
l'Organisation Internationale de Métrologie Légale chargée de
l'harmonisation internationale des législations relatives aux unités de
mesure et l'Organisation Internationale de Normalisation chargée de
normaliser les règles d'emploi et d'écriture des symboles des unités de
mesure du Système International (SI). Ce dernier est actuellement fondé sur
sept unités de base
- le mètre pour la longueur
- la seconde pour la durée
- l'ampère pour l'intensité électrique ; A
- le kelvin pour la température ; K
- la mole pour la quantité de matière ; mol
- la candela pour l'intensité lumineuse ; cd

Pour la mesure des angles, il existe une unité supplémentaire : le radian
(rad). Le radian est l'angle qui, ayant son sommet au centre d'un cercle,
intercepte sur la circonférence de ce cercle un arc de longueur égale à
celle du rayon du cercle.

Le système métrique est basé sur le système de numération décimale (voir
tableaux)

Certaines grandeurs sont des grandeurs produits ou des grandeurs
quotients : - L'aire peut être considérée comme le
produit de deux longueurs.
- La vitesse moyenne est le quotient d'une longueur par une durée.
La mesure de l'aire d'un rectangle peut être obtenue en considérant le
nombre de carrés étalons pavant le rectangle. A partir de cette procédure,
il est possible de faire apparaître la mesure de l'aire du rectangle comme
résultant du produit des longueurs des deux côtés. On a ainsi un exemple du
produit de deux grandeurs. Si u est une unité de longueur et si v en est
une autre et si L1=axu et si L2=bxv alors l'aire A=L1xL2 est égale à
(axb)(uxv), axb est la mesure de l'aire A, l'unité étant uxv.
C'est ce qui explique que quand on passe d'une unité usuelle d'aire à celle
immédiatement inférieure ou supérieure, on multiplie ou on divise la
mesure par 100. C'est aussi ce qui explique que quand on multiplie par un
nombre k les dimensions d'une figure, son aire est multipliée par k2.On dit
que l'aire est une grandeur bidimensionnelle.


Les points importants à prendre en compte dans la mise en place d'un
apprentissage des mesures de grandeurs à l'école élémentaire.

Les grandeurs étudiées à l'école élémentaire doivent être définies avant
l'introduction de la mesure par l'intermédiaire d'activités de comparaison.
Pour permettre aux élèves de définir la mesure d'une grandeur, il est
nécessaire de leur faire vivre des activités de mesurage qui peuvent
permettre d'introduire une réflexion sur l'approximation de leur résultat.
Il semble aussi intéressant de faire une estimation de la mesure de la
grandeur d'un objet avant de procéder au mesurage, ce qui peut permettre
de donner du sens à ce qu'est une unité.
Il est nécessaire d'apprendre aux élèves à utiliser les instruments de
mesure usuels : double-décimètre, balances, horloges et montres, verre
mesureur.
On peut mettre en évidence que, parfois, le calcul permet d'obtenir la
grandeur d'un objet particulier, comme par exemple l'aire d'un rectangle ou
la détermination d'une durée à partir des informations concernant l'heure
du début et l'heure de la fin d'un évènement.

Concernant les mesures de longueur et d'aire :

Il est