BTS2 - Corrigé du devoir du 3/12/2004 - muizon

BTS Groupement C - Corrigé de juin 2003 Exercice 1 (10 points)
D'après l'énoncé, la répartition des roulements, selon leur provenance
et selon leur qualité, est la suivante :
| | |Provenant|Provenant|Total |
| | |de Reims |de Nancy | |
|On notera les événements : |Roulement|40%×95,5%|60%×98% |97% |
| |s | |=58,8% | |
| |utilisabl|=38,2% | | |
| |es | | | |
|R : "le roulement vient de Reims" |Roulement|40%×4,5% |60%×2% |3% |
|U : "le roulement est utilisable" |s non |=1,8% |=1,2% | |
| |utilisabl| | | |
| |es | | | |
| | |40% |60% |100% |
| |Total | | | |
Partie A
1. On prélève au hasard un roulement dans le stock.
a) Quelle est la probabilité qu'il soit utilisable sachant qu'il
provient de Reims.
D'après l'énoncé, 4,5% de la production de Reims est inutilisable
: pR)=4,5%=0,045
On en déduit que 95,5% de la production de Reims est utilisable :
R)=1-pR)=0,955))
b) Quelle est la probabilité qu'il soit utilisable sachant qu'il
provient de Nancy.
D'après l'énoncé, 2% de la production de Nancy est inutilisable :
p)=2%=0,02
On en déduit que 98% de la production de Nancy est utilisable :
)=1-p)=0,98)).
c) En déduire la probabilité qu'il soit utilisable.
On a : U=(U?R)?)
Donc : p(U)=p(U?R)+p)
Donc : p(U)=p(R)×pR)+p)×p)
Donc : p(U)=0,4×0,955+0,6×0,98
Donc : ).
2. On prélève dans le stock, successivement et au hasard, 10
roulements.
a) Quelle est la probabilité de X ?
On sait que le tirage des 10 roulements est assimilable à un
tirage avec remise. Les 10 épreuves sont donc indépendantes.
Pour chaque roulement tiré, il y a 2 issues :
. le roulement est utilisable (avec une probabilité de 0,97),
. le roulement est inutilsable
On en déduit que la variable X qui compte le nombre de roulements
utilisables suit la loi binomiale de paramètres n=10 et p=0,97 :
)).
b) Quelle est la probabilité que 9, au moins, des 10 roulements
soient utilisables ?
On a : p(XÃ9)=p(X=9)+p(X=10)
Donc : p(XÃ9)=\o\al(\s\do 1(10);\s\up 4(9))××+\o\al(\s\do
1(10);\s\up 4(0))×
Donc : ) à près par excès.
3. On prélève maintenant 100 roulements au hasard dans le stock.
La variable aléatoire Y qui donne le nombre de roulements
inutilisables suit la loi B.
On décide d'approcher la loi de Y par une loi de Poisson.
a) Quel est le paramètre de cette loi ?
On sait qu'un loi binomiale B peut, lorsque n est grand et p
petit, être approchée par la loi de Poisson de paramètre ?=np.
Donc puisque Y suit la loi binomiale B, on a : np=3.
Donc la loi suivie par Y peut être approchée par la loi de
Poisson de paramètre ?=3 : P(3).
b) Quelle est la probabilité que moins de 2 roulements soient
inutilisables ?
On a : p(Y