Bac blanc correction - Lycée Henri BECQUEREL

Correction du bac blanc mars 2011 Exercice 1 : Une urne contient trois dés équilibrés.
Deux d'entre eux sont verts et possèdent six faces numérotées de 1 à 6.
Le troisième est rouge et possède deux faces numérotées 1 et quatre faces
numérotées 6. On prend un dé au hasard dans l'urne et on le lance. On note :
V l'événement : « le dé tiré est vert »
R l'évènement : « le dé tiré est rouge »
S1 l'évènement : « on obtient 6 au lancer du dé » | | | |S1 |
| |V | | |
| | | | |
| |R | |S1 |
| | | | |
| | | | |
1) On tire au hasard un dé et on effectue un lancer de celui-ci.
a/ Parmi les trois dés, deux sont verts, soit p(V) = ,
et l'un est rouge, soit p(R) = .
Sur chaque dé vert, une seule des 6 faces porte le numéro 6,
soit pV(S1) = . Alors, pV() = 1 - pV(S1) = 1 - = .
Sur le dé rouge, quatre des 6 faces portent le numéro 6,
soit pR(S1) = = . Alors, pR() = 1 - pR(S1) = 1 - = . b/ Les événements V et R forment une partition de l'univers. D'après la
formule des probabilités totales :
p(S1) = p(V S1) + p(R S1) = p(V) pV(S1) + p(R) pR(S1 ) = + = .
La probabilité que la face numérotée 6 apparaisse vaut . 2) On tire au hasard un dé de l'urne. On lance ensuite ce dé n fois de
suite.
On note Sn l'évènement : « on obtient 6 à chacun des n lancers ». a/ Réaliser l'événement Sn, c'est tirer un dé vert , puis réaliser n fois
de suite, de façon indépendante, l'événement S1 ou tirer le dé rouge, puis
réaliser n fois de suite, de façon indépendante, l'événement S1. Cela
se traduit par l'égalité : p(Sn) = p(V) [pV(S1)]n + p(R) [pR(S1 )]n
soit p(Sn) = ) + ).
b/ Pour tout entier naturel n non nul, on note pn la probabilité d'avoir
tiré le dé rouge, sachant qu'on a obtenu le numéro 6 à chacun des n
lancers.
pn = pSn(R) = R); p(Sn))) = ) ; ) + ) )) = ; 3n ))+ )) =
; [2 2n ))+ 1]))
Soit pn = ) + 1)).
c/ pn 0,999 ) + 1)) ? 0,999 2 ) + 1 ) - 1 ; 2))
A l'aide de la calculatrice, on trouve n0 = 6.
Cela signifie qu'il faut lancer au moins 6 fois le dé en ayant obtenu à
chaque fois la face numéro 6 pour que la probabilité que ce soit le dé
rouge soit supérieure à 99,9%. Exercice 2 : Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0 ; + [ par :
f(x) = 6 - .
1) Etude de propriétés de la fonction f. a/ La fonction f est définie et dérivable sur [0 ; + [ et f '(x) = -
= > 0
donc [.)
b/ f(x) = x f(x) = 6 - = x = 0 = 0
soit = 0 - x2 + 5x + 1 = 0 et x + 1 0
Le trinôme - x2 + 5x + 1 a pour discriminant ( = 25 + 4 = 29 > 0
Donc - x2 + 5x + 1 admet deux racines dans dont une seule est positive
donc ( = ;- 2))
;2)) est la solution de l'équation f(x) = x dans l'intervalle [0, + [.)
c/ f(0) = 6 - = 1, f(() = (
et f est strictement croissante sur [0 ; + [ donc si 0 x (, alors
f(0) f(x) f(() = (
soit encore
De même, puisque f est strictement croissante sur [0 ; + [ et f(() = (
alors,
si x (, alors f(x) f(() = (
soit encore, [, alors f(x) appartient à [( , + [.)
2) Etude de la suite (un) pour u0 = 0
Dans cette question, on considère la suite (un) définie par u0 = 0 et
pour tout entier naturel n :
un + 1 = f (un) = 6 - .
a/
La suite (un) semble croissante
et converger vers ( , abscisse du point d'intersection de la droite et
de la courbe.
b/ Montrons, par récurrence, que, pour tout entier naturel n : (Pn) 0
un un + 1 (.
Initialisation : u0 = 0 et u1 = f (u0) = 6 - = 1 donc 0 u0 u1 ( donc
P0 est vraie.
Hérédité : Supposons (Pn) vraie pour un certain entier naturel p, 0 up
up + 1 (.
Montrons que (Pn) est vraie au rang p + 1.
D'après l'hypothèse de récurrence, 0 up up + 1 ( et d'après la
question 1, et f est strictement croissante sur [0 ; + [ donc f(0)
f(up) f(up + 1) f(()
Soit 1 up+ 1 up + 2 f(() et comme f(() = (, on a : 0 up+ 1 up + 2
(
donc (Pn) est vraie au rang p + 1.
Conclusion : P0 est vraie, (Pn) est héréditaire donc (Pn) est vraie pour
tout n de .
un un + 1 (.) c/ D'après la question précédente, pour tout entier naturel n, un un +
1 donc la suite (un) est croissante. De plus, pour tout entier naturel n,
un ( donc la suite (un) est majorée.
Or, tout suite croissante majorée converge donc vers un réel l compris
entre 0 et (.
Par définition, un + 1 = f (un) où f est la fonction étudiée en 1), f
est continue sur [0 ; + [ et
f(x) = x x = ( donc d'après le théorème du point fixe, l = ( 3) Etude des suites (un) selon les valeurs du réel positif ou nul u0.
On peut montrer comme dans la partie 2) que :
Si 0 u0 < ( alors la suite (un) est croissante et converge vers (.
Si u0 = ( alors la suite (un) est constante et un = ( pour tout n de .
Si u0 > ( alors la suite (un) est décroissante et converge vers (. Exercice 3 : courbes (C1) et (C2) d'équations respectives y = ex et y =
- x2 - 1. 1) Sur le graphique représenté ci-dessous, on a tracé approximativement
une tangente commune aux deux courbes à l'aide d'une règle.
Graphiquement, on lit l'abscisse a du point de contact de cette tangente
avec la courbe (C1) et l'abscisse b du point de contact de cette
tangente avec la courbe (C2).
0,8 et b - 1,2)
[pic] 3) On désigne par a et b deux réels quelconques, par A le point
d'abscisse a de la courbe (C1) et
par B le point d'abscisse b de la courbe (C2). a/ Une équation de la tangente (TA) à la courbe (C1) au point A
est : y = f1'(a)(x - a) + f1(a)
où f1(x) = ex , f1 est dérivable sur et f1'(x) = ex
donc une équation de la tangente (TA) est de la forme y = ea (x - a) + ea
y = ea x + ea ( 1 - a)
b/ Une équation de la tangente (TB) à la courbe (C2) au point B
est : y = f2'(b)(x - b) + f2(b)
où f2(x) = - x2 - 1, f2 est dérivable sur et f2'(x) = - 2x.
donc une équation de la tangente (TB) est de la forme y = - 2b(x - b) - b2
- 1 y = - 2bx + b2 - 1
c/ Les droites (TA) et (TB) sont confondues si et seulement si elles
ont la même équation réduite, c'est-à-dire elles ont le même coefficient
directeur et le même ordonnée à l'origine. Soit,
les droites (TA) et (TB) sont confondues si et seulement si les réels a et
b sont solutions du système : d/ ea;ea - aea = ea ) - 1 )) e2a - 1)) est équivalent au système (S') : )
3) Soit f(x) = e2x + 4xex - 4ex - 4.
a/ Si x ] - ; 0[, 2x ] - ; 0[ et e2x < 1 compte tenu des variations
de la fonction exponentielle et e0 = 1.
Or, 1 < 4 donc e2x < 4 et e2x - 4 < 0.
Autre méthode : e2x - 4 = (ex - 2)(ex + 2).
ex > 0 puisque la fonction exponentielle est positive sur donc ex + 2 >
0 et x < 0 < ln 2 donc ex - 2 < 0
d'où (ex - 2)(ex + 2) = e2x - 4 < 0
Si x ] - ; 0[, ex > 0 et si x < 0 alors x - 1 < - 1 < 0 donc 4ex(x -
1) < 0 (produit de deux nombres de signes contraires).
, 0[, e2x - 4 < 0 et 4ex(x - 1) < 0.)
b/ Pour tout x < 0, e2x - 4 < 0 et 4ex(x - 1) < 0 donc e2x - 4 + 4ex(x -
1) < 0
et l'équation f(x) = 0 e2x + 4xex - 4ex - 4 = 0 n'a pas de solution dans
l'intervalle ] - ; 0[.
, 0[.)
c/ La fonction f est définie et dérivable sur comme composée, produit
et somme de fonctions dérivables sur et f '(x) = 2e2x + 4(1ex + xex) -
4ex = 2e2x + 4ex + 4xex - 4ex
donc
Sur l'intervalle [0 ; + [, ex > 0 et 2x > 0, donc par somme, ex + 2x > 0
et par produit,
2ex (ex + 2x) > 0 donc f '(x) > 0 sur [0 ; + [
donc [.)
d/ f est strictement croissante sur [0 ; + [, f(0) = e0 + 40e0 - 4e0 - 4
= 1 - 4 - 4 = - 7
On transforme l'expression de f(x) : f(x) = e2x + 4xex - 4ex - 4 = ex
(ex + 4x - 4 - )
))ex = + donc )) = 0 et par somme, ))(ex + 4x - 4 - ) = +
Par produit, )) f(x) = + .
La fonction f est dérivable donc continue sur , strictement croissante
sur [0 ; + [,
f(0) = - 7 < 0 et )) f(x) = + donc 0 [f(0) ; )) f(x)[ et d'après le
théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x) = 0 admet une
solution unique dans l'intervalle [0 ; + [.
Soit l'équation (E) admet une solution unique, a, dans l'intervalle [0 ;
+ [.
D'après la calculatrice, f(0,84) - 0,116 < 0 et f(0,85) 0,070 > 0
4) On prend pour A le point d'abscisse a ; on cherche un encadrement
d'amplitude 10 -1 du réel b pour lequel les droites (TA) et (TB) sont
confondues.
On sait que b = - ea avec 0,84 < a < 0,85
La fonction exponentielle est strictement croissante sur donc e0,84 < ea
< e0,85
Où e0,84 2,316 et e0,85 2,339. On a alors : - e0,85 - 1,1698 et -
e0,84 - 1,1581
et - 1,2 < - ea < - 1,1 soit
Exercice 4 : Partie A : Restitution organisée de connaissances Soit un point D de l'espace et un plan P de vecteur normal );n) contenant
un point B.
Soit H le projeté orthogonal de D dans le plan P. );DB) . );n) = ();DH) + );HB)) . );n) = );DH) . );n) + );HB) . );n) = );DH)
. );n) car );HB) est orthogonal à );n).
Comme );DH) et );n) sont des vecteurs colinéaires, alors | );DB) . );n) |
= DH × || );n) || [pic]
DH = d(D ; P) = );DB) . );n)|;||);n)|| )). Partie B : Soit A(3 ; - 2 ; 2) ; B(6 ; - 2 ; - 1) ; C(6 ; 1 ; 5) et D(4 ;
0 ; - 1). 1) );AB) );AC) Alors, );AB) . );AC) = 3 3 + 0 3 + (- 3) 3 = 0.
Les vecteurs );AB) et );AC) sont donc orthogonaux ; le triangle ABC est
rectangle en A.
Ainsi, l'aire du triangle ABC vaut donc :
AC;2 )) = ; 2 ))= 3 ;2)) = ;2 )).
L'aire du triangle ABC vaut donc ;2 )) cm².
2) Soit );n) de coordonnées (1 ; - 2 ; 1).
);n) . );AB) = 1 3 + (- 2) 0 + 1 (- 3) = 0 et );n) . );AC) = 1 3 +
(- 2) 3 + 1 3 = 0
);n) orhogonal aux vecteurs );AB) et );AC) non colinéaires.
);n) orthogonal au plan (ABC) : c'est donc un vecteur normal. Alors,